Bir vektör alanı için bir kaynağın ve havuzun daha genel bir tanımı
Anlayabildiğim kadarıyla sırasıyla bir kaynak ve bir havuzun tanımı diverjans operatörü cinsinden verilmiştir.
Yani, bir vektör alanı verildiğinde $\vec{D}$, yerinde bir kaynağı var$P$ eğer sapması $\text{div}\vec{D}$ olumlu $P$veya negatifse bir lavabo . Örneğin, elektromanyetizmada biri diyor ki$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ nerede $\rho_v$ hacimsel yük yoğunluğu ve $\vec{D}$ elektrik akısı yoğunluğu.
Ama diyelim $\vec{D}$ pozitif bir puan yükü ile verilir $q$ da yerleşmiş $(0,0,0)$ alanı yaratan
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
nerede $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
Bu durumda, $\text{div}\vec{D}=0$ her yerde, bununla birlikte, alan oradan "ortaya çıktığı" ve yükü çevreleyen her bir yüzey üzerindeki net akı pozitif olduğu için, orijin bir tür kaynaktır.
Sorum şu: bir kaynak ve havuzun başka tanımları var mı? Muhtemelen biraz daha genel olan ve en son bahsettiğim gibi daha özel durumları kapsayan bazıları?
Yanıtlar
Sanırım sezgisel bir genelleme, diverjans teoreminden geliyor! Yani, bir vektör alanının bazı bölgelerde pozitif sapma gösterdiğini bilirsek, o bölgenin etrafındaki herhangi bir topun yüzeyindeki integral pozitif olacaktır. Bu, örneğinizi kapsar, çünkü bu şekilde, tekilliğe asla bakmamıza gerek yoktur.$x = 0$, biz sadece bu tekilliğin etrafındaki toplara bakıyoruz!
Gösteren $B_r(p)$ açık yarıçap topu $r > 0$ etrafında $p$ve şununla belirt $\partial B_r(p)$ sınır yüzeyi.
İzin Vermek $U \subset \mathbb{R}^n$ açık bir set olmak ve $p \in \mathbb{R}^n$ bir nokta böylece bir $\epsilon > 0$ böylece küreler $\partial B_r(p)$ içinde yer almaktadır $U$ hepsi için $r < \epsilon$.
Sürekli bir vektör alanı verildiğinde $X : U \to \mathbb{R^n}$bunun bir nokta olduğunu söylüyoruz $p \in U$ dır-dir...
- ... Bir kaynak için$X$ eğer varsa $\epsilon > 0$ Böylece $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... Bir lavabo için$X$ eğer varsa $\epsilon > 0$ Böylece $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
Vektör alanınız tüm iç kısımda pürüzsüz olacak şekilde genişletilebilirse $B_r(p)$ kürelerin $S_r(p)$, sonra diverjans teoremi bize söyler
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
ve sonra tanımınız bunu ima ediyor, çünkü eğer $\text{div} X(p) > 0$ tek bir noktada, süreklilik argümanları ile bütün bir top olacak $B_r(p)$ hangisinde $\text{div} X > 0$.
Örneğinizin bu tanıma mükemmel bir şekilde uyduğunu göreceksiniz ve sıfırın etrafındaki toplar üzerindeki integralleri çok kolay bir şekilde hesaplayabileceksiniz ve sıfır noktasının kendisine asla dokunamasanız bile hepsi pozitif olacak.
Herhangi bir ders kitabından falan alıntı yapmıyorum, bu yüzden dikkatli olun, bu sadece makul bir genelleme üzerine kendi fikrimdir :)
DÜZENLEME: Bir alternatif, sapmanın tanımını değiştirmektir, ancak yine de topları noktalar etrafında bütünleştirme fikrini kullanarak, Örneğin bu soru ve cevaba bakınız.
Vektör alanının integrallenebilir olması durumunda çok daha topolojik bir tanım verebilirsiniz.
İzin Vermek $\vec{D}$ entegre edilebilir bir vektör alanı olmak ve $d$onun akışı. İzin Vermek$p$ öyle ki $\vec{D}(p)=0$.
$p$ bir $\textit{sink}$ açık bir küme varsa $U$ kapsamak $p$ öyle ki $\overline{d(U)} \subset U$.
$p$ bir $\textit{source}$ açık bir küme varsa $U$ kapsamak $p$ öyle ki $\overline{U} \subset {d(U)} $.