Borel setleri ve Baire setleri

Aug 16 2020

(1) Kompakt bir Hausdorff uzayım olduğunu varsayalım $X$sayılabilir bir tabana sahip. Borel cebiri neden$\mathcal{B}(X)$ ( $\sigma$-açık kümeler tarafından üretilen alan) ve Baire cebiri $\mathcal{B}a(X)$ ( $\sigma$kompakt tarafından oluşturulan alan $G_\delta$setler) eşit mi? Bunun kanıtını nerede bulabilirim?

(2) Şimdi varsayalım ki $X$sayılamayan bir tabana sahiptir. Bu durumda,$\mathcal{B}(X)$ ve $\mathcal{B}a(X)$artık çakışmıyor ve Baire setlerini göz önünde bulundurmanın Borel setlerinin bazı patolojilerini önlediğini biliyorum. Bu patolojiler nelerdir? Ayrıca, Baire olmayan bir Borel seti örneği ne olabilir?

Yanıtlar

3 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 11:02

Baire kümeleri ile Borel kümelerinin çakıştığını ilk durumda görmek için, Baire kümeleri için jeneratör kümelerinin (kompakt $G_\delta$) her zaman Borel'dir (kompakt, Hausdorff alanlarında kapalı anlamına gelir), böylece Baire $\subseteq$Kolayca Borel. Ve eğer$O$ açıksa, bunu kompakt bir $G_\delta$ setler, yani tüm açık setler Baire'de $\sigma$-field, yani tüm Borel setleri de öyle. (İkinci sayılabilir Hausdorff kompakt, tamamen normal anlamına gelir vb.)

Daha genel olarak neyin yanlış gidebileceğini görmek için kontrol edin $X=\omega_1 + 1$bu kompakt Hausdorff'tur ancak ikinci sayılamaz. İçinde,$\{\omega_1\}$ kapalı (yani Borel) ama Baire değil (Halmos, Ölçü Teorisinde kompakt bir kümenin, eğer bir $G_\delta$ve bu singleton değil). Dieudonné ölçüsü$X$Düzenli değil, ama bir Borel ölçüsüdür olduğunu biz Baire setleri üzerinde çalışırken düzenli. Halmos'un kitabına veya Fremlin'in topolojik ölçüm teorisindeki kapsamlı çalışmasına bakın. Baire setlerini almak bize entegrasyon vb. Şeyler yapmak için fazlasıyla set verir ve düzenlilik özellikleri açısından daha iyi davranışlı önlemler verir.