Bu integral için doğru sonuca nasıl ulaşılır?

Question

Wolfram | Alpha, hem bildiğim kadarıyla, sadece web sitesi bu gerçek çözümünü veren integrali ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ çünkü sonuç olarak verilen fonksiyonu türetmek orijinal fonksiyona ulaşırız.

Çözüm şudur: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Ancak bu videoda entegrasyon süreci doğru görünse de yanlış bir sonuç veriliyor. Yukarıdaki gibi, sonuçta ortaya çıkan işlevi türetmek, entegre etmek istediğimiz orijinal işlevle sonuçlanmadığından sonucun yanlış olduğunu biliyorsunuz.

Doğru sonuca ulaşmam gerekiyor ama nasıl yapılacağını bilmiyorum.

Answer 1

Ninad'ın işaret ettiği gibi, bu videoda kullanılan işleme eşdeğer kısmi bir çözümdür ve yalnızca aşağıdaki durumlarda geçerlidir: $$\cos\frac t2$$ olumlu .

Bu kimlikle başlayın:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Bunu integrale uygulamak için, önce ikameyi yapın $t = \sqrt x$, ardından bu özelliği art arda uygulayın. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$