bu mümkün müdür $2^{2A}+2^{2B}$ kare bir sayı mı?

Question

A ve B'nin şundan büyük iki pozitif tamsayı olmasına izin verin $0$. bu mümkün müdür$2^{2A}+2^{2B}$ kare bir sayı mı?

Bu alıştırmada sorun yaşıyorum çünkü cevabın hayır olduğu hissine kapılıyorum, ancak ispat üzerinde ayrıntıya giremiyorum. Şimdiye kadar düşündüğüm şey bir tam sayı olduğunu varsaymaktı$C>0$ öyle ki $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Sonra$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Önceki ifadenin bir çelişki taşıyıp taşımayacağını anlamaya çalışıyordum ama takılıp kaldım. Tek bulabildiğim bu$C$çift ​​sayı olması gerekiyor ama bu beni hiçbir yere götürmüyor. Herhangi bir yardım için minnettar olurum.

Şimdiden teşekkürler!

Answer 1

Genelliği kaybetmeden bırak $A>B$. Sonra$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ bir kare ima eder $2^{2A-2B}+1$ gibi bir kare $2^{2B}$bir karedir. Ama bu imkansız çünkü$2^{2A-2B}$ bir karedir.

Answer 2

Shubhrajit Bhattacharya'nın cevabı basit ve doğrudan bir kanıt sunar: $2^{2A}+2^{2B}$kare olamaz. Ama sadece eğlence için, OP'nin yaklaşımını bitirelim (başlangıçta bir çıkmaza yol açtığını düşündüğüm).

Eğer $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, sonra $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$bu şu anlama geliyor $2^A+2^B+C$ ve $2^A+2^B-C$ ikisinin de gücü $2$ve açıkça farklı güçleri$2$, söyle $2^a$ ve $2^b$ ile $a\gt b$ ve $a+b=A+B+1$. Ama bu ima ediyor

$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$

Şimdi, genelliği kaybetmeden varsayarsak, $A\ge B$, sahibiz

$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$

Şimdi $a\gt b$ ima eder $2^{a-b}+1$ şundan büyük tek sayıdır $1$sahip olmamız gerektiği anlamına gelir $A\gt B$ (aksi takdirde sol taraf bir güçtür $2$, şundan büyük bir tek sayının katı değil $1$). Bu da ima eder$b=B+1$ ve $a-b=A-B$aldığımız

$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$

aykırı olarak $a+b=A+B+1$.

Not: Buradaki çelişkinin doğası beni biraz şaşırttı ve aptalca bir aritmetik hata yapmadığımdan emin olmak için çalışmamı dikkatlice kontrol etmek zorunda kaldım.

Answer 3

Sadece yap.

Genelliği kaybetmeden varsayalım ki $A \le B$ yani

$2^{2A} + 2^{2B}=$

$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$

$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$

$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.

Yani bu tam bir kare ise, $(2^{B-A})^2 + 1$ mükemmel bir kare olmak.

Fakat $(2^{B-A})^2$tam bir kare olduğu için ardışık iki tam karemiz var. Oluşan tek zamanın şu an olduğuna kendinizi ikna etmeniz kolay olmalıdır.$0^2$ ve $1^2$. (Ek olarak kanıt).

Yani bunun gerçekleşmesinin tek yolu, $(2^{B-A})^2 = 0$ ve $(2^{B-A})^2 + 1=1$.

Fakat $2^{B-A} = 0$ imkansız.

====

Ek: O zaman sadece ardışık iki kare $0$ ve $1$.

İspat: Varsayalım $m^2 = n^2 + 1$. nerede$m,n$ negatif olmayan tam sayılardır. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ yani $n < m \le m+1$. Ama aradaki tek tamsayılar$n$ (özel) ve $n+1$ (dahil) $n+1$ yani $m = n+1$. Ve bu yüzden$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ yani $2n = 0$ ve $n = 0$ ve $m =1$.

Answer 4

Varsayalım ki $2^{2A}+2^{2B}$mükemmel bir karedir. Genelliği kaybetmeden varsayalım$A \geqslant B$. Öyleyse bırak$A-B=x$, nerede $x$negatif olmayan bir tamsayıdır. Elimizde:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Şimdi, LHS bir tam kare ise, o zaman RHS de bir tam kare olmalıdır. Bunu takip eder$2^{2x}+1$mükemmel bir karedir. Bu olsun$n^2$. Daha sonra elimizde:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ Şimdi ihtiyacımız var $n-1$ ve $n+1$ ikisinin de mükemmel güçleri olması $2$. Bu sadece olabilir$n=3$. Ancak, o zaman bile, yalnızca$2^{2x}=8$ imkansız olan $x$bir tamsayıdır. Bu nedenle çözüm yoktur.

Answer 5

Biz olurdu $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, imkansız $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.