Bunların aynı olup olmadığını nasıl öğrenebilirim?

Question

Kübik denklem için Wikipedia makalesinde , kök şu şekilde elde edilebilir:

$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$

Nerede $\Delta_0=b^2-3ac$ ve $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. Ayrıca,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.

Başka bir web sitesinde , başka bir kök çözüm var:

$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$

Bunu değerlendirmek için ikincisini Wolphram | Alpha'ya koydum . $\Delta_1$içinde görülebilir; ama nasıl bulacağıma dair hiçbir fikrim yok ve önceki çözüm aynı.

Answer 1

Tanımlamak:

$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$

(Nickalls tarafından yazılan bu makaledeki şekil 1'e bakın: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)

Sunduğunuz ikinci ifade daha sonra şu şekilde yazılabilir:

$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$

yada ... için $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Sunduğunuz ilk ifadede biz var

$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$

böylece ifade olur

$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$

yada ... için $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$

parantez içindeki son terimin payını ve paydasını çarptıktan sonra $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$

olur

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Yani evet gerçekten, bulduğunuz kübik köklerin bu iki ifadesi eşdeğerdir.

Şimdi sizi bir küpün kökleri için tüm bu klasik çözümü bir kenara atmanızı ve bunun yerine Nickalls tarafından sunulan ve Holmes tarafından üzerine inşa edilen Nickalls'ın yaklaşımını öğrenmenizi tavsiye ediyorum:

http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf

https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf