Bunu nasıl gösteririz ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ kesinlikle yakınsak değil mi?

Question

Bu, Eliptik fonksiyonlar bölümünde Shakarchi ve Stein'in Kompleks Analizinden.

Bunu nasıl gösteririz ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ kesinlikle yakınsak değil, nerede $\wedge$karmaşık düzlemde çift kafes nedir? Karmaşık sonsuz toplamların mutlak yakınsamasını göstermek benim için zor görünüyor. Belki bu seriyi bağlamayı deneyebilirim ve gerçek seriden gerçeği kullanabilirim ama nasıl olduğunu bilmiyorum.

Answer 1

Bir döndürme ile kafesin olduğunu varsayabiliriz $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ ve varsayabiliriz $a \ge 0$ aksi takdirde kullanırız $n <0$ Akabinde.

Düzelt $z=x+iy$, yani $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

O zaman eğer $Nb>|y|$, anlıyoruz $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

ve benzer şekilde $M>0, M+Na >|x|$ ima eder $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Bu şu demek $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Ama şimdi sadece bu terimleri toplayarak ve bu toplamı çağırarak $S$ bunu anlıyoruz:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

Bunu kullanarak, bir çift pozitif sayı dizisi isteğe bağlı olarak değiştirilebilir (aynı sonuçla sonlu veya sonsuz) hemen elde ederiz (toplamda azaldıkça) $m$) bu sabit $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

nerede $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ gibi $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ ve arktanjant artıyor

Ama bu gösteriyor ki $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ böylece bir kafes alt kümesindeki çift mutlak değerler dizisi zaten sonsuzdur ve işimiz bitmiştir!