Değişken olmayan düğüm diyagramları
Her geçişin enine olduğu kapalı, kendi kendini kesen bir eğri ile başlayın. Şimdi aşağıdaki gibi alternatif bir düğüm diyagramının tersi gibi bir şey oluşturun. Herhangi bir yerden başlayarak, eğriyi geçin ve daha önce ziyaret edilmemiş her geçişte, üzerinden/yukarıya gidin. Geçit daha önce ziyaret edilmişse, tahsis edilen geçiş işaretini bırakın.
Aşağıda iki örnek gösterilmiştir. (a) açıkça çözülmemiş olandır. (b) aynı zamanda çözülmemiş olandır, belki de o kadar açık değildir.
Kırmızı daire başlangıç noktasını gösterir, çapraz yön oku.
Bu diyagramların açık bir şekilde bilinmeyeni temsil etmesini bekliyordum, ancak net bir kanıt göremiyorum. Böyle:
S. _ Böyle bir düğüm diyagramının her zaman çözülmemiş olanı temsil ettiğini kanıtlayın (veya çürütün).
Yanıtlar
Tanımladığınız gibi bir diyagrama azalan diyagram denir ve aslında her zaman önemsiz düğümle sonuçlanır. Kanıt için bkz. Lemma 3.2.10,http://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. Önceki cevap doğru fikre sahip.
Bu her zaman çözülmemiş olandır. Bununla danışmanım tarafından tanıştırıldım ama bunun aslında onun argümanı olduğunu da düşünmüyorum, bu yüzden bunu ilk kimin yaptığını bilmiyorum.
Bunu görmek için, düğüm düğümsüz ise düğümün köprü numarasının bir olduğu gerçeğini kullanacağız.
Düğümün izdüşümünü çizin ve başlangıç noktanızı seçin. Bu izdüşümü, sadece izdüşüm boyunca ilerlerken çapraz geçişler yaparak bir diyagram haline getireceğiz. projeksiyon çizilirse$x,y$uçak nerede$z=0$, içinde bir düğüm oluşturabiliriz$\mathbb{R}^3$her yaparak$i$-düzeyde geldiğimiz yeni geçiş$z=i$. Bu nedenle, izdüşümdeki her kesişmeyle karşılaştığımızda ve ilk geçiş geçişine geri dönmek üzereyken, 3-uzaydaki düğümümüz bir miktar yüksekten geri düşmelidir.$z$değer geri$z=0$.
Elimizde son geçiş ile ilk geçiş arasındaki küçük parça dışında düğümün her yerde kesin olarak arttığı bir yükseklik fonksiyonu var. Böylece, bir maksimum ve bir minimum vardır ve bu nedenle 1 numaralı düğüm, düğümsüz köprü vardır.
Uzman olmadığım için ne kadar yardımcı olduğundan emin değilim, ama işte doğru olabilecek bir fikir.
İlk olarak, çiziminize dik olan üçüncü boyutu tanıtın ve "başlangıç" noktasının düz "yukarı" giden bir parçanın izdüşümü olduğundan emin olun. Ardından, düğümün geri kalanını, çizgi boyunca ilerlerken sadece aşağı inecek şekilde yerleştirmek mümkün olmalıdır. Bir yardımcı skelter (neredeyse dikey bir merdivenle yukarı çıkıyor) hayal edin ve ne demek istediğimi iyi anlayacaksınız. Şimdi bu biraz el dalgalı, ancak "aşağı" yolda geçerken kavşakların her birine sabit yükseklikler atayabileceğinize ve ardından düğümdeki diğer tüm noktalara uzanabileceğinize inanıyorum. (Örneğin "merdiven" kısmı yükseklikten yükseliyorsa$0$ile$1$, için$n$kavşaklar, her birinden ikişer kez geçerken yükseklikleri rezerve edebilirsiniz.$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$düğümdeki "kesişen" noktalar için.)
Gerisi, bu düğümün çözülüp çözülebileceğini göstermek için basit bir hesaplama olmalıdır. Orijinal düğümün denklemi ("kayma" kısmı) şu şekilde parametrelenirse:$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, ile birlikte$\rho(0)=\rho(1)=0$, sonra deforme edin, çünkü$\lambda\in[0,1]$içine$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$orijinal düğümü verirken,$\lambda=0$bariz bir çözülmemişlik verir$x-z$uçak.