Denklemlerde ikame etmekten kaynaklanan gereksiz çözüm

Question

Nasıl gereksiz bir çözüme ulaşabileceğinizi gösteren bu örneğe rastladım ama nasıl ortaya çıktığını merak ediyordum. Denklemimiz var:$$x^2+x+1=0 $$ X = 0 denklemi sağlamadığından, her iki tarafa da x'e bölebilirsiniz, bu da şunu verir: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$bu bizim ilk denklemimize eşdeğerdir. İlk denklemimizden şu sonuca varabiliriz:$$-x^2=x+1$$ Şimdi bunu elde etmek için ikinci denkleme koyuyoruz:$$x^2=\frac{1}{x}$$ hangi sonuçlanır $$x^3=1$$bu önceki denklemimize eşdeğerdir çünkü x 0 olamaz. Ancak, son denklemimizden bir çözüm x = 1'dir, bu bizim orijinal denklemimize bir çözüm değildir. Bunun kübik bir denklem elde etmeniz ve ikinci dereceden bir denklemle başlamanız ve bu adımların aşağıdakileri ima etmesi ve bunun tersi olmamasıyla ilgisi olabileceği konusunda belirsiz bir fikrim var, ancak bunun neden olduğuna dair çok ayrıntılı bir cevap verebilir misiniz? ortaya çıkıyor? Lütfen daha fazla örnek verebilir misiniz?

Answer 1

Eğer ararsak $A(x)=x^2+x+1$ ve $B(x)=x+1+\frac1x$, pasajlarınızı şu şekilde şematize edebiliriz: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Eşdeğerliği korumak için saklamanız gerekirdi $A(x)=0$ içinde $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

Answer 2

Bu ikame ($x+1=-x^2$) denklemin bir dizi kökünü genişletir

Çünkü $-x^2$ ayrıca bağlıdır $x$.

Yerine koyabilirsin $x+1=y$, Örneğin.

Daha fazla örnek, benzer bir ikame benzer sorunlar verdiğinde.

Çözmemiz gerek $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Elde ederiz: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ veya $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Şimdi, o zamandan beri $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ kötü bir şey elde edebiliriz: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ veya $$x(440x^2+630x+189)=0$$ ve seçeneklerden biri olarak aldık $x=0$.

Bunu görmek kolay $0$ başlangıç ​​denkleminin bir kökü değil ve gerçekleşti

çünkü doğru olmayan bir ikame kullandık $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Şimdi, denklemin tüm köklerinin $440x^2+630x+189=0$ başlangıç ​​denkleminin kökleridir ki bu o kadar da kolay değildir.

Bu sorunlardan kaçınmak istiyorsak aşağıdaki kimliği kullanmamız gerekir. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Answer 3

Bir denklemin tüm dönüşümleri tersine çevrilebilir olmalıdır. İle$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ iyi.

Ama iki denklemi bir arada birleştirmek $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ değil.