Dır-dir $C^{*}$-algebra QFT çalışmanın en modern yolu
QFT konusunda uzman değilim veya $C^{*}$-algebralar, ancak QFT'nin temellerini öğrenmeye çalışıyorum. Tüm kitaplarda / makalelerde ve bildiğim diğer materyallerde, QFT esas olarak çok sayıda fonksiyonel analiz ve dağıtım teorisi kullanılarak incelenir, ancak bazı cebirsel yapıların da kullanıldığını biliyorum ve bu bağlamda$C^{*}$-algebralar en modern araç gibi görünüyor. Öyleyse, benim gibi deneyimsiz bir öğrenci, QFT'ye ve istatistiksel mekaniklere yönelik bu yaklaşımlar hakkında ne bilmeli? Rolü nedir$C^{*}$-Bu teorilerdeki cebirsel yöntemler ve diğer cebirsel yöntemler? Daha iyi uydukları sorunlar nelerdir? QFT çalışmak istersem, öğrenmek zorunda mıyım$C^{*}$-cebir? Cebirsel yöntemlerin iyi uymadığı sorunlar var mı? Her iki yaklaşımın da verimli olduğu sorunlar var mı? Bu cebirsel yapıları bilmeden kişi ne kaybediyor?
ADD: Titiz istatistiksel mekanikle çalışıyorum ama biraz QFT öğrenmeye çalışıyorum çünkü ... bunlar bir seviyede birbiriyle ilişkili iki alan. Ancak, QFT hakkında ne veya ne kadar öğrenmem gerektiğini henüz bilmiyorum. Fonksiyonel analiz ve dağıtım teorisi konusunda bir geçmişim var, ancak$C^{*}$-cebir. Deneyimsiz bir öğrenci olarak genel bir resim elde etmek çok faydalı olacaktır, yani kişinin QFT'de çözmeye çalıştığı problemler nelerdir ve bu yaklaşımların her biri nerede devreye girer. Bu araçların her birinin farklı tür problemler ve hatta teorinin farklı alt alanları için geçerli olduğunu düşünüyorum, ancak kesin olarak bilmiyorum.
Yanıtlar
Doktora çalışmamda C * -algebralar oldukça yoğun bir şekilde kullanıldı, bu yüzden orada biraz uzmanlık iddia edebilirim, ancak QFT konusunda uzman değilim. Cevabımın ana perspektifi bu olacak.
Bu tartışma için iyi bir başlangıç noktası, hem operatör cebirlerinde hem de kuantum mekaniğinde temel bir sonuç olan Stone-von Neumann teoremidir. Kurulum, temelde Heisenberg belirsizlik prensibidir ve pozisyon ölçüm işlemlerinin$x$ ve momentum $p$ bir kuantum sisteminin işe gidip gelmemesi:
$$[x,p] = 2\pi i h$$
Erken tarihinin kuantum mekaniği hakkında önemli bir matematik sorusu şuydu: ne tür nesneler$x$ ve $p$? Fizikçiler, bazı Hilbert uzaylarında kendilerine eşlenik operatörler olmalarını isterler, ancak hiçbir sınırlanmış operatörün bu özelliğe sahip olmadığını kesin bir şekilde kanıtlayabilirsiniz. Bu sonuç, Lie cebirlerinin temsil teorisine aittir - esasen, iki üreteçli Lie cebiri ve yukarıdaki bağıntı, Hilbert uzayında sınırlı kendine eşlenik operatörlerle temsil edilmez.
Stone ve von Neumann'ın fikri, Lie cebirinden çok Lie grubuna odaklanmaktı; Yukarıdaki ilişki, zaman değişimi operatörleri arasındaki aşağıdaki ilişkinin 0'daki türevidir.$U(t)$ ve $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
Böyle tarafından oluşturulan Lie grubu $U$ ve $V$Heisenberg grubu olarak adlandırılır ve Stone-von-Neumann teoremi, bu grubun Hilbert uzayında, üniter denkliğe kadar (ve burada girmeyeceğim bazı sıfatlar) benzersiz bir üniter temsiline sahip olduğunu iddia eder. Bu, teorinin Heisenberg ve Schrodinger resimlerini tek bir aksiyom seti halinde birleştiren temel kuantum mekaniği için güzel bir temel sağlar.
Daha karmaşık kuantum sistemlerini idare etmek için, muhtemelen daha karmaşık ilişkileri tatmin eden daha fazla operatöre genelleme yapmamız gerekir. Bu genelleme şu şekilde çalışır:
- Yerel olarak kompakt bir grupla başlayın $G$; orijinal Stone-von-Neumann teoremi için,$G = \mathbb{R}$.
- Fourier dönüşümü belirler ve izomorfizmi $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, nerede $C^*(G)$ C * grubu - cebir ve $\hat{G}$ Pontryagin ikilisidir.
- Böyle bir izomorfizm, çapraz çarpım cebirinin üniter temsiline eşdeğerdir. $C_0(G) \rtimes G$.
- Bu C *-cebirdeki tüm irreps birimsel olarak eşdeğerdir.
Artık çok parçacıklı sistemler için kuantum mekaniğine sahibiz. Peki ya QFT? QFT'nin zor olmasının temel nedeni, anladığım kadarıyla, Stone-von-Neumann teoreminin artık doğru olmamasıdır.
Sıradan kuantum mekaniği için, klasik faz uzayları sonlu boyutlu manifoldlardır - örneğin, etrafta uçan tek bir parçacığın klasik faz uzayı. $\mathbb{R}^3$ dır-dir $\mathbb{R}^6$. Kuantum alan teorisindeki faz uzayının klasik analoğu, bununla birlikte,$\mathbb{R}^3$, bu bir çeşit sonsuz boyutlu manifolddur. Bu, sonsuz sayıda komütasyon ilişkisine sahip sonsuz sayıda operatör anlamına gelir ve buna karşılık gelen sonsuz boyutlu Lie grupları, var oldukları ölçüde, çok daha karmaşık bir temsil teorisine sahiptir.
Şimdi sorunuzu cevaplamaya çalışabilirim. Operatör cebirleri, kuantum mekaniğine güzel bir model sağlamak için az çok icat edildi. Bu modelin sahip olduğu güzel özellik - yani üniter denkliğe kadar bunun yalnızca bir gerçekleştirilmesi vardır - artık QFT'de doğru değildir. Dolayısıyla, QFT'deki pek çok çalışmanın (örtük) amacı, bu durumla başa çıkmak ve daha iyi temeller aramaktır. C * -algebraların QFT hakkında düşünmenin en iyi veya en modern yolu olup olmadığı hakkında hiçbir fikrim yok - muhtemelen hayır - ancak bir öğrenci için başlamak için iyi bir yer Stone-von-Neumann teoremini makul bir genellikle öğrenmektir çünkü yapabiliriz QFT'nin zorluğunun çoğunu yokluğundan sorumlu tutuyorum.
Yine, uzman olmayan birinin geçici cevabı: Muhtemelen Matematiksel Fizik / Operatör Cebirlerinde gerçek bir Jedi Ustası olan biri devreye girecek.
Klasik QM'de, Hilbert durum uzayından başlar $H$ve oradan hareket eden özel operatör türlerine bakarak inşa eder $H$(simetriler için üniter ve gözlemlenebilirler için münzevi). Yani, bir anlamda, operatör cebirleri baştan beri oradadır, ancak klasik QM'de temel varlıklar (kuantum) durumları ve ikincil olanlar süreçler (operatörler) gibi görünür ve hissedilir.
Ancak hareketin, bir anlamda soyut operatörlerin cebiriyle başlayıp sonra kötü şöhretli Gelfand dualitesini kullanarak durum kümesini modelleyerek sırayı tersine çevirmeye doğru olduğunu söylemenin doğru olduğunu düşünüyorum. Az önce çizdiğim şey, Cebirsel Kuantum Alan Teorisi üzerine bir süpermarket sohbeti ( burada bir yoğunlaşma bulabilirsiniz ).
Neden diye sorabilirsiniz: Emin değilim, ama bana öyle geliyor ki, devletlerin aksine süreçlere doğru hareket mantıklı geliyor
- matematiksel olarak (örneğin , değişmeli olmayan hayalet uzay üzerindeki fonksiyonların cebirleri gibi doğrudan değişmeli olmayan cebirler üzerinde çalıştığı Connes'in Değişimli Olmayan Geometrisi ile bağlantı kurar ). Cebirler, hayalet uzayın topolojisini ve geometrisini yakalamak için yeterince iyidir ve aynı zamanda daha soyut makinelere de katkıda bulunur.
- fiziksel olarak. QM / QFT'nin, sistemlerin kendi başına var olduğu bir dünyadan ziyade süreçler / etkileşimlerle ilgili olduğu konusunda artan bir farkındalık var. Örneğin Rovelli'nin İlişkisel Yorumuna bakın, sadece bir seçeneği alıntı yapmak için.
EK: C * cebirleri QFT için en yeni araç mı? Cevap şudur: Aklınızda hangi QFT var? Örneğin, Kuantum Yerçekimi'nde cevap kesinlikle hayır. İnsanlar, daha yüksek kategori teorisinden daha önce bahsedilen değişmeyen geometriye, güneşin altındaki hemen hemen her şeye ve hatta biraz daha fazlasına kadar her türden güzellikle oynuyor.