Dirac alanları: Parçacık ve antiparçacık oluşturma operatörleri vakum üzerinde farklı davranıyor mu?

Question

Bir Dirac alanı verildiğinde $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ yaratma operatörleri ile $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ sırasıyla parçacıklar ve antiparçacıklar için, bu operatörler vakum üzerinde nasıl hareket ediyor?

Özellikle, doğru mu $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?

Answer 1

Ah, sanırım sorunuzu şimdi anlıyorum ve bunun basit bir notasyon meselesi olduğunu düşünüyorum. Parçacıklar ve antiparçacıklar için tek parçacık durumları farklı şekilde gösterilmelidir, yani gösteriminize yakın olmaya çalışmak gibi bir şey verir.

$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$Ve tüm olağan komutasyon ilişkileri aynıdır. Belki daha standart gösterim olurdu$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ ve $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $ama en yaygın olanı tam olarak bilmiyorum.

Answer 2

Öyle değil doğrudur$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. Dahası, gösterim$|k\rangle $Belirsiz. Devlet var$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$momentumlu bir parçacık içeren$k$ ve dönüş durumu $s$ ve devlet $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$momentumlu bir antiparçacık içeren$k$ ve dönüş durumu $s$. Örneğin [1], Bölüm 5.4'e bakınız.

[1] GBFolland, Kuantum alan teorisi. Matematikçiler için bir turist rehberi, Math.Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.

Answer 3

Operatör $a$bir parçacık yok etme operatörü iken$b^{\dagger}$bir antiparçacık oluşturma operatörüdür. Vakum üzerinde hareket etmek,$a_{s}(k)|0\rangle=0$, fakat $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. Aslında,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ tek partiküllü bir antifermiyon durumudur (tek partikül fermiyon durumu ile aynı değildir).

Arasındaki benzerlik $a$ ve $b^{\dagger}$her birinin bir parçacık yaratması değil. Aksine, her biri fermiyon sayısını şu kadar azaltabilir:$1$. (Fermiyon sayısı, mevcut fermiyon sayısı eksi antifermiyon sayısıdır - dolayısıyla vakumda sıfırdır.) Bir partikül fermiyon durumuna etki etme$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$ivme ile bir fermiyonu yok etmek $k$ ve döndür $s$. Eşlenik alan$\Psi^{\dagger}$ (veya $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) içerir $a^{\dagger}$, bir fermiyon oluşturan ve $b$, bir antifermiyonu yok eder. Böylece,$\Psi^{\dagger}$ fermiyon sayısını şu kadar artıracak $1$.