Doğru çeviriler olarak sadık bir şekilde temsil edilebilen yarı grupları tanımlayan bir çeşitlilik arayışı içinde.
Eğer $G$ bir grup, bijection olduğunu görüyoruz $y\mapsto y_r$, nerede $(x)a_r = xa$sağdan yazılan fonksiyonlar, bir grup izomorfizmidir.
Bu şekilde, grupları çeviriler olarak ilginç bir şekilde yorumladık.
Bundan ilham alalım $S$herhangi bir magma olabilir. Doğru çevirinin aynı işlemini üzerinde düşünelim$S$. Bir soru sorabiliriz, bu harita ne zaman$y\mapsto y_r$ bir homomorfizm.
Açıkça, bu geçici $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ herhangi $x, a, b$, yani, $(xa)b = x(ab)$.
Bu şekilde, bir homomorfizmi oluşturan çeviriler hakkındaki basit bir sorudan doğal olarak bir yarıgrup tanımına ulaştık.
Kendimize başka bir soru sorabiliriz, bu harita ne zaman bir izomorfizmdir? Bu bir izomorfizmdir$y\mapsto y_r$ enjekte edici ve bu sadece $(x)a_r = (x)b_r$, yani, $xa = xb$ ima eder $a = b$ hepsi için $x, a, b$.
Bu tür yarı gruplara, sol zayıf indirgeyici, kısaca lwr yarı grupları denir.
Bununla birlikte, bununla ilgili ciddi bir sorun var, lwr yarı grupları ikili işlemlere sahip yapılar arasında bir çeşitlilik oluşturmaz. Açıkça, eğer$S$ bir lwr yarı grubu olmayan bir yarı gruptur, o zaman $S^1$, nerede $S\mapsto S^1$bir kimlik öğesi ekleme işlemidir, bir lwr yarı grubudur. Ama sonra$S^1$ içerir $S$ alt grubu olarak, bir lwr yarı grubunun bir alt grubu bir lwr yarı grubu olmak zorunda kalmasın.
Ancak, bir çeşitlilik oluşturan bir yarıgrup sınıfı vardır, belki ikili işlemli yapılar olarak değil, ancak sıfır eleman ekleyerek. Sol monoidler$(S, \cdot, e)$ nerede $\cdot$ ikili bir işlemdir, $e$ boş bir öğedir ve iki kimlik vardır: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.
İşlemi unutmaktan gelen bir yarı grup sınıfı olarak $e$ yani $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$tüm sol monoidler lwr yarıgruplarıdır.
Sorum şu, bir yapı bulabilir miyiz? $(S, \cdot, \mathscr{F})$ nerede $\mathscr{F}$ hepsinin kümesini gösterir $n$için -ary işlevler $n\in\mathbb{N}_0$ ondan başka $\cdot$ , ikili fonksiyon ve kimlikler, böylece bu kimlikleri karşılayan bir dizi cebir bir çeşitlilik oluşturur ve harita $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ çünkü bu çeşitlilikteki herhangi bir cebir onu bir lwr yarı grubuna dönüştürür ve böylece bu yolla elde edilen kümelerin sınıfı maksimal veya imkansızsa.
Yeni başlayanlar için, sol monoidler ve lwr yarı grupları arasındaki bir yarıgrup sınıfını kapsayan bir çeşitlilik.
Güncelleme :
Böyle bir yapı için potansiyel bir aday bulabildim. Düşünmek$(S, \cdot, e)$ nerede $e:S\to S$ kimlikleri olan tek bir işlemdir $e(x)x \approx x$ ve $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.
Bu tür yapılar monoidleri genelleştirir çünkü $f$ sol kimlik, o zaman $e(x) \equiv f$bize yukarıdaki tipte bir yapı verir. Ayrıca, bu ilişkileri karşılayan herhangi bir yarı grup, bir lwr yarı grubudur, çünkü$xa = xb$ ima eder $a = e(a)b$ ve $b = e(b)a$ Böylece $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.
Ancak sol monoid olmayan bir örneğim yok.
Güncelleme 2 :
onu buldum $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ eşdeğerdir $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.
Özellikle düzeltebiliriz $x\in S$ ve Al $ e = e(x)^2$, Böylece $ey = y$ hepsi için $y\in S$. Bunun anlamı$S$ sol bir monoiddir.
Güncelleme 3 :
Monoid bırakılmayan küçük lwr yarı grupları :
Eşsiz bir LWR yarı grubu vardır. $3$ki bu bir sol monoid değildir. Matris tarafından verdi {bmatrix} 1 ve 3 ve 3 \\ 3 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ ucu {bmatrix} başlar \
Hesaplamalarıma göre, var $18$ yarı gruplar $4$ lwr olan ancak monoid bırakmayan, Id'ler ile $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ GAP paketinde Smallsemi, nerede $t$ transpoze çarpım tablosu anlamına gelir (anti-izomorfizm).
Yeni yapı :
Hadi düşünelim $(S, \cdot, e)$ nerede $e$ ikili bir işlemdir $e:S\times S\to S$kimliklerle $e(x, y) \approx e(y, x)$ ve $e(x, y)x\approx x$.
İkili işlemi, iki öğeyi birbirine bağlayan yerel sol kimliklerin bir seçimi olarak düşünebilirsiniz. $x, y$ talep ederek birlikte $e(x, y)$ hem yerel sol kimliği olmak $x$ ve $y$.
Eğer $S$ sol kimliği olan bir sol monoid $f$, alabiliriz $e(x, y) \equiv f$.
Böyle bir yapı bir lwr yarı grubudur çünkü $xa = xb$ hepsi için $x$ ima eder $e(a, b)a = e(a, b)b$, ve bu demek ki $a = b$.
Bu tür yapılar burada ve burada tartışılmaktadır .
Güncelleme 4:
Zayıf bir şekilde indirgeyici olan başka bir yarı grup sınıfı var gibi görünüyor! Bunlar (küçük) kategoriler tarafından indüklenen yarı gruplardır. Yapı burada @ J.-E.Pin cevabında bulunabilir.
Eğer $(S, \cdot)$ kategoriye göre indüklenir $\mathcal{C}$, ve $x\cdot f = x\cdot g$ hepsi için $x\in S$ ve morfizmler $f, g$ nın-nin $\mathcal{C}$sonra alıyor $x = 1_X$ nerede $X$ etki alanı $f$, $f = 1_X\cdot g$. Özellikle,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ eşit olarak tanımlandı $g$. Eğer$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ hepsi için $x\in S$ ve morfizm $f$ nın-nin $\mathcal{C}$sonra eskisi gibi $f = 0$. Çelişki.
Bu, (küçük) kategorilerin neden olduğu tüm yarı grupların zayıf bir şekilde indirgeyici olduğunu kanıtlar.
Yanıtlar
Bir ekstra ikili ve bir üçlü işlem kullanarak tüm lwr'lerin sınıfını bu şekilde tanımlayabilirsiniz. İki işlemi gösteren$w(a,b)$ ve $r(a,b,c)$, çağrışımsallıkla tanımlanan çeşitliliği göz önünde bulundurun $\cdot$ ve kimlikler $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Bu kimlikler tutarsa, o zaman herhangi biri için $a\neq b$ Biz sahip olmalıyız $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, yarı grubu ifade eder $(S,\cdot)$ böyle bir cebir için lwr $(S,\cdot,w,r)$.
Tersine, yarı grup $(S,\cdot)$ lwr, o zaman herhangi biri için $a\neq b$ biraz var $w(a,b)$ öyle ki $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Tanımlamak için bu değerleri kullanın$w$, ayar $w(a,a)$keyfi olarak. Şimdi tanımlayabiliriz$r(a,b,c)$ eşit olacak şekilde $a$ Eğer $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ Eğer $c=w(a,b)\cdot b$ ve diğerleri için herhangi bir değeri alır $c$. Sonra$(S,\cdot,w,r)$ yukarıdaki kimlikleri karşılar.