Durdurulan martingalin minimum beklentisini göster $-\infty$

Question

Rastgele yürüyüş martingalini düşünün $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ nerede $X_k$ tekdüze olarak sınırlandırılmıştır, $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. İzin Vermek$a>0$ ve ayarla $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Olduğunu göstermektedir$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Tanımlamayı düşünüyordum $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ ve martingale kullanarak $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Daha sonra (MCT ve sınırlılık kullanarak ve$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Bu ima eder$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Buradan nasıl ilerleyeceğimi bilmiyorum.

Answer 1

Buna ne dersin?

Herhangi $N < \infty$isteğe bağlı örnekleme teoremine göre, elimizde $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. Ve$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ gibi $N, k \to \infty$.

Yani $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ negatif bir sayıya yakınsar $N,k \to \infty$.

İzin Vermek $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Şimdi$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Eğer$E(U) > -\infty$, sonra $E(U I_{U < -k}) \to 0$ gibi $k \to \infty$bu bir çelişkidir.