Eğer $A$ Noetherian, o zaman her kesirli ideal biçimdedir $x^{-1} \frak{a}$ bazı idealler için $\frak{a}$ nın-nin $A$

Question

[Açıklama] If $A$ Noetherian, o zaman her kesirli ideal biçimdedir $x^{-1} \frak{a}$ bazı idealler için $\frak{a}$ nın-nin $A$, $x \in A$.

---

[Girişim]

Bunu Atiyah Macdonald Değişmeli cebir, Bölüm 9, sayfa 96, Kesirli idealler'de buluyorum.

Diyorlarsa $A$ Noetherian, o zaman her kesirli ideal biçimdedir $x^{-1} \frak{a}$ bazı idealler için $\frak{a}$ nın-nin $A$, $x \in A$ böylece her kesirli ideal sonlu olarak üretilir.

Sorun değil "böylelikle kesirli ideal sonlu üretilir" çünkü $A$ noetherian çok ideal mi $\frak{a}$ sonlu olarak oluşturulur.

Ancak, yukarıdaki ifade nasıl gösterilir?

İzin Vermek $M$kesirli ideal olun. Sonra tanım gereği var$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ öyle ki $\frac{a}{b} M \subseteq A $, yani $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

Bir sonraki adım nedir?

Answer 1

İzin Vermek $\{m_i\}_{i\in I}$ oluşturmak $M$ olarak $A$-modül. Sonra$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ onu takip eder $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Böylece her biri için $i,$ yazabiliriz $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ ile $b_i\in A.$ Bu şu anlama gelir \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Ama şimdi $\sum_{i\in I}b_i A$ sadece idealidir $A$ tarafından üretilen $b_i,$ yani bitirdik.