Eğer $f$ gerçek bir fonksiyondur, sürekli $a$ ve $f(a) < M$, sonra açık bir aralık var $I$ öyle bir içeren $f(x) < M$ hepsi için $x \in I$.

Question

Sorunu ilgili her f ve f (a) sürekli bir gerçek işlevi ise, yanıt. Kullandıysam$\epsilon =M-f(a)$ Aynı zamanda $\epsilon >0$ ve $ \exists$ $ \delta>0$ yani açık bir aralık var $I$ öyle içeren $f(x)<M$ hepsi için $x \in I$. Bunun da doğru olduğunu düşünüyorum ama kesin değil.

Cevabımı doğrulayan var mı?

$\underline{Edit}$

Şimdi izin ver $\epsilon = {M-f(a)}$, Açıkça $\epsilon >0$ve bu nedenle açık bir aralık vardır $I=(a-\delta, a+\delta)$, öyle ki herhangi biri için $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ tutar.

Bunu takip eder $f(x)<M$ hepsi için $x \in I$

Answer 1

Şartı $f$ sürekli $a$\ begin {equation} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) olduğunu belirtir . \ end {equation} Başka bir deyişle, şu öneriye sahibiz: \ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0, \ var \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {denklem} Ve biz bu teklifim var \ {denklem} başlamak f \ sol (a \ sağ) <M. \ end {denklem} gerçeği olduğunu Kullanılması$M - f\left(a\right) > 0$, \ başlar {denklem} \ var \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {equation} ayrıca \ begin {equation} \ var \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {ana} \ end {denklem} Böyle bir açık aralık yoksa$I$ o $f\left(x\right) < M$ hepsi için $x \in I$, sonra şu önerimiz var : \ begin {equation} \ forall \ delta> 0, \ existing x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label Bizim sonucumuzla açıkça çelişen {alt} \ end {denklem} .