Eğer $f$ o zaman süreklidir $f$ tekdüze sürekli iff $|f|$ düzgün bir şekilde süreklidir

Question

Eğer $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ o zaman süreklidir $f$ tekdüze sürekli iff $|f|$ düzgün bir şekilde süreklidir.

Bir harita $f$ bir metrik uzaydan $M=(M,d)$ bir metrik uzaya $N=(N,\rho)$ her biri için tekdüze sürekli olduğu söylenir $\epsilon>0$var bir $\delta>0$ öyle ki $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ her ne zaman $x,y \in M$ tatmin etmek $d(x,y)<\delta$.

Açıkça, eğer $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ üniform olarak süreklidir, bu durumda $|f|$ üniform olarak süreklidir $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$ama sohbet kısmını göstermekte gerçekten sorun yaşıyorum. Bulunduğu bölgede$f$ her zaman olumlu ya da olumsuz, herhangi bir sorun yaşamayacağız ama nerede $f$işareti değiştiriyor. Sıfırlar ise$f$ sonlu ise, aynı zamanda hepsinden minimum $\delta$s ve sonucu sonlandırın. Sıfırlarsa ne olur$f$ sonsuz mu?

Answer 1

Yorumlarda belirtildiği gibi, burada verilen kanıt , tüm$\mathbb{R}^n$.

Dan beri $\lvert f \rvert$ düzgün bir şekilde süreklidir, bir $\delta > 0$ öyle ki \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Unutmayın ki $f(x)f(y) > 0$, sonra \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} hangisi daha az $\epsilon/2$ her ne zaman $d(x,y) \leq \delta$. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu dava oldukça önemsizdi. Şimdi dikkatimizi şu duruma çeviriyoruz:$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Her zaman tuttuğundan beri\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} bunu göstermek yeterli $\star$ varlığını ima eder $z$ öyle ki $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ ve $f(z) = 0$. Çünkü o zaman\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} her ne zaman $d(x,y) \leq \delta$. Dan beri$f$ süreklidir, uygun bir $z$ sürekliliğinden izler $f$ ve $\star$(Ara Değer Teoreminin bir sonucu olarak, örneğin buraya bakınız ).