Eğer $fg$ sürekli $a$ sonra $g$ sürekli $a$.

Question

Farz et ki $f$ ve $g$ açık bir aralıkta tanımlanır ve sonlu değerlenir $I$ içeren $a$, bu $f$ sürekli $a$, ve şu $f(a) \neq 0$. Eğer$fg$ sürekli $a$ sonra $g$ sürekli $a$.

$\underline{Attempt}$

Dan beri $f$ uyumlu $a$ ve $fg$ sürekli $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

yani

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

dan beri $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ sürekli $a$

Answer 1

Kanıtınız doğru değil. Varlığını varsayıyorsun$\lim_{ x \to a} g(x)$ancak bu sınırın varlığını kanıtlamalısınız. Yazmak$g(x)$ gibi $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ bunu gözlemlemek $f(x) \neq 0$ Eğer $|x-a| $yeterince küçük. Şimdi sınırın var olduğunu ve eşit olduğunu görebilirsiniz$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Var $\delta >0$ öyle ki $|x-a| <\delta$ ima eder $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Yani$|x-a| <\delta$ ima eder $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ ve bu yüzden $f(x) \neq 0$].