Eğer $g$ sürekli ve artan bir fonksiyonudur $x$, kanıtla $g(X)$ rastgele bir değişkendir.

Question

Grimmet Stirzaker'ın alıştırması 2.3.12 Probability and Random processesaşağıdakileri soruyor. Çözümümü doğrulamaya yardımcı olursanız, isterim.

İzin Vermek $X$ rastgele bir değişken olmak ve $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$sürekli olmalı ve kesinlikle artmaktadır. Olduğunu göstermektedir$Y = g(X)$ rastgele bir değişkendir.

Çözümüm.

Gibi $g$monoton olarak artan bir fonksiyondur, enjekte edicidir (bire bir). Yani, eğer$x_1 < x_2$, sonra $g(x_1) < g(x_2)$. Bu nedenle,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Bunu nasıl çıkaracağımı bilmiyorum $g$ örten (üzerine).

Eğer $g$ önyargılı, ters fonksiyon $g^{-1}$ vardır ve iyi tanımlanmıştır.

Dolayısıyla set

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

dan beri $X$rastgele bir değişkendir. Sonuç olarak,$g(X)$ rastgele bir değişkendir.

Answer 1

Sürekliliği ve katı monotonluğu $g$alakasız. Gerekli olan şu ki$g$bir Borel işlevidir. Her iki koşulun da "$g$ sürekli ","$g$ tekdüze olarak artıyor "ifadesi, $g$ bir Borel işlevidir.

Farz et ki $g$bir Borel işlevidir. İzin Vermek$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Bunu gözlemleyin$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ Çünkü $g^{-1}(A)$bir Borel kümesidir. Bu nedenle$g(X)$ dır-dir $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$- ölçülebilir, yani rastgele bir değişken.