Eğer $M$ standart bir ZFC izomorfik sınıf modelidir. $V$, daha sonra $M = V$?

Question

Şu ifadeyi düşünün: (T) "Eğer $M$ standart bir ZFC izomorfik sınıf modelidir. $V$, sonra $M = V$. "(T) ifadesi şuna eşdeğerdir:" Standart bir sınıf modelinin geçişli çöküşü $M$ ZFC eşittir $V$, sonra $M = V$. "Bunun nedeni, bir sınıfın geçişli çöküşüdür. $M$ elementhood açısından izomorfik olan benzersiz geçişli sınıftır. $M$.

Burada, ZFC'nin standart sınıf modeli ile, temel ilişkisi gerçek üstünlük ilişkisi olan bir ZFC sınıf modelini kastediyorum.

ZFC'nin tutarlı olduğunu varsayın. ZFC (T) kanıtlıyor mu? ZFC (T) 'yi çürütür mü? Her ikisi için de hayır ise, bazı ek büyük kardinal aksiyomlu ZFC (T) çürütür mü?

Answer 1

Hayır. Tanımla $F:V\to V$ tarafından $\in$-yineleme olarak $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Açıkça$F(x)$ herkes için boş değil $x$. Ayrıca,$F$ enjekte edici: eğer $F(x)=F(x')$sonra tümevarımla $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ varsayabiliriz $F$ enjekte ediyor $x\cup x'$. Dan beri$F(x)=F(x')$ Biz sahip olmalıyız $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$ama o zamandan beri $F$ enjekte ediyor $x\cup x'$ bu ima eder $x$ ve $x'$ aynı unsurlara sahiptir ve bu nedenle $x=x'$. Ayrıca açıkça$y\in x$ ima eder $F(y)\in F(x)$ve tersi, enjektiviteden kaynaklanır $F$.

Hep birlikte ele alındığında, bu şunu gösterir: $F$ bir izomorfizmdir $(V,\in)$ -e $(M,\in)$ nerede $M$ görüntüsü $F$. Fakat$M\neq V$, dan beri $\emptyset\not\in M$.