Eğer $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Sonra hesaplayın $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Buraya $i=\sqrt{-1}$

Question

SORU: Eğer$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$sonra hesapla $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ Buraya $i=\sqrt{-1}$ .

---

CEVAP: Bunu Kuadratik formülü ve De Moivre Teoremini kullanarak yaptım. Şüphelerimi ortaya atmadan önce çalışmalarımı yazmama izin verin .. İşte böyle yaptım ..

Elde ettiğimiz denklemi çözme $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ Al $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$

Şimdi bunu biliyoruz $2187=(273\times8)+3$

$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$

$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$

Şimdi ilk sorum şu, ikinci dereceden ilişki bize iki farklı değer verdi .$x$. Cevabına ulaşmak için birlikte çalıştığım biri$\sqrt {2}i$ ve diğer, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$Geride bıraktığım. Şimdi bununla çalışırken açının ortaya çıktığını buluyorum$\frac{\pi}{10}$ve işler bundan sonra çok daha karmaşık hale geliyor. Buna resmi cevap şudur:$\sqrt{2}i$ (öğrendiklerimle uyuşan).

Şüphem, neden diğer değerini dikkate almıyoruz? $x$ ?

Ve bunu çözmek için herhangi bir alternatif (tercihen daha basit) yöntem var mı?

Yardımınız ve desteğiniz için çok teşekkür ederim .. :)

Answer 1

$2187=3^7$. Bu bir ipucu. Yetkileri$3$önemlidir. Şimdi$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ ve $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ Yani $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ Bunu tekrar ediyorum, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ vb. Sonunda, $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$

Answer 2

Aslında, her iki değerin de doğrulaması kolaydır. $x$aynı sonucu verir. Tüm problem için, De Moivre formülüne iki kez ihtiyacınız var (açıklama olmadan iki satır kağıt).

İçin $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, cevabın olduğunu gösterdin $i\sqrt 2$.

Şimdi izin ver $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. De Moivre formülünü kullanarak ve$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ sen alırsın $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ Bitti!