Eğer $V_n(a)$ dizideki işaret değişikliklerini sayar $\cos a, \cos2a,\cos3a,\ldots,\cos na,$ olduğunu göstermektedir $\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(a)}n=\frac{a}\pi$
İzin Vermek $0\leq\alpha\leq \pi $. $V_n (\alpha) $ dizideki işaret değişikliklerinin sayısını gösterir $\cos\alpha,\cos2\alpha,\cos3\alpha,\ldots,\cos n\alpha $. O zaman kanıtla$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{V_n (\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}.$$
Nerede bir ipucu gördüm $\dfrac{V_n (\alpha)}{n}$olasılık olarak kabul edilir. Demek istediğim, bu ifade nasıl bir şeylerin olasılığıdır. Öyleyse, bu şekilde nasıl daha fazla ilerleyebilirim?
Güncelleme: Bu soruna bir çözümüm var
İçinde $n\alpha$ tam daire dönüşünün oluşma sayısını döndürme $=\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
Bir tam daire dönüş işaretinde 2 kez değişiklik olur. Dolayısıyla$\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$ tam dönüş işareti değişikliği meydana gelir $=2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
Şimdi dinlenme açısı $n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor\times2\pi$
0'ı işaret değişikliği olarak kabul edersek $\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)$ ve $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ sonra:-
(1) Eğer $0\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{\pi}{2 }$ değişiklikleri 0 kez imzala
(2) Eğer $\dfrac{\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{3\pi}{2 }$ 1 kez değişiklikleri imzala
(3) Eğer $\dfrac{3\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<2\pi$ değişiklikleri 2 kez imzala
İzin Vermek $f$ öyle bir işlev ol $$f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)=\begin{cases}0,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=0\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=1\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=2\\ 2,\text{ when } \left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=3\end{cases}$$
Bu nedenle $\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)}{n}$
Bu nedenle $$\dfrac{V_n(\alpha)}{n}\geq \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}$$ ve $$\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}\leq \dfrac{V_n(\alpha)}{n}$$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ ve $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$
Dolayısıyla Sandwich Teoremi ile $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ [Kanıtlanmış]
Bu doğru mu?
Yanıtlar
- Varsayacağım durumda nerede $\alpha\in \pi \mathbb{Q}$ kolay, çünkü sıra $\big(\cos(k\alpha)\big)_{k\ge1}$ bu durumda periyodiktir ve dikkate alırsak $0$ pozitif sayı olarak o zaman $V_{2q}(p\pi/q)=2p\pm 1$ ve sonuç bu durumda geçerlidir.
- Şimdi varsayıyoruz ki $\alpha\notin \pi\mathbb{Q}$. Bu, dizinin$\big(k\alpha \mod(2\pi)\big)_{k\geq 1}$ eşit dağıtılır $[0,2\pi]$. Eşit dağıtılmış dizilere bakın .
Şimdi izin ver $f$ ol $2\pi$ tarafından tanımlanan periyodik fonksiyon $$f(\theta)=\cases{0, & if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) \ geq0$,\\ 1,& if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) <0$.}$$ Bu tanımla, $$V_n(\alpha)=\text{card}\left\{k\in\{1,\ldots,n\}:f(k\alpha)=1\right\}$$ Ama biz tanımlarsak $$\mathcal{I}=\cases{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}2\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right) ,&if $0 <\ alpha <\ pi / 2$,\cr \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha,2\pi\right] ,&if $\ pi / 2 <\ alpha <\ pi$.}$$ Bundan dolayı $\theta\in[0,2\pi]$ sahibiz $$f(\theta)=1\iff \theta\in\mathcal{I}$$ Dolayısıyla, dizinin eşit dağıtımı şunu ifade eder: $$\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(\alpha)}{n}=\frac{\text{length}(\mathcal{I})}{2\pi}=\frac{\alpha}{\pi}$$ Bitti.$\qquad\square$
İPUCU: let $ b_n\equiv n a \pmod {2\pi}$ ile oluşan açıyı belirtin $x$- eksen $n^{th}$dizinin terimi. Varsayalım ki$b$ arasında eşit olarak dağılmıştır $0$ ve $2\pi$.
Şimdi ilk olarak şu durumu düşünün: $0<b_n<\pi/2$ veya $3\pi/2<b_n<2\pi$. Bir sonraki adımda, bir işaret değişikliği yalnızca$b_{n+1}>\pi/2$. Buna göre, bunun gerçekleşme olasılığı nedir$b_{n+1}=b_n+a$?
Daha sonra aynı hususları aşağıdaki durum için tekrarlayın: $\pi/2<b_n<3\pi/2$. Bir işaret değişikliği yalnızca$b_{n+1}>3\pi/2$. Bunun gerçekleşme olasılığı nedir?