Eğer $X = \{ |p(z)|<c\}$, sınırını göster $X$ dır-dir $\{ |p(z)| = c\}$ ve her bileşeni $X$ sıfır içerir $p$.

Question

Çalışmadığım bir enstitünün karmaşık analizinde problemler deniyorum ve bu özel problemle karşılaştım.

İzin Vermek $p$ sabit olmayan bir polinom olmak, $c>0$ ve $X=\{z:p(z)<c\}$. Kanıtla$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ ve ayrıca her bağlı bileşeni $X$ sıfır içerir $p$.

Deneme: Let $C$ bağlı olmak $X$. Sonra$\partial C$ alt kümesidir $\partial X$ ve bu yüzden $|p(z)| \leq c$. Ama bundan başka bir argüman düşünemiyorum.

Bu yüzden, bu soruna nasıl yaklaşılması gerektiğine lütfen biraz ışık tutun.

Answer 1

Basit özellikleri $p$:

i) O zamandan beri $p$ sabit olmayan bir polinomdur, $p$her karmaşık değeri alır. Böylece setler$X=\{|p|<c\}$ ve $\{|p|=c\}$ boş değil.

ii) Set $X$ sürekliliği ile açık $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ gibi $|z|\to\infty.$

İii) bunu takip eder $X$Sınırlı. Aksi takdirde$X$ bir dizi içerir $z_n$ öyle ki $|z_n|\to \infty,$ dolayısıyla $|p(z_n)|\to \infty,$ tanımına aykırı $X.$

İzin Vermek $z\in \partial X.$ Sonra $z$ dizinin sınırı $X.$ Bu ima eder $|p(z)|\le c.$ Abilir $|p(z)|<c$olmak? Hayır, çünkü o zaman$z\in X$ve bir sınır noktası olamaz. Bunu takip eder$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Şimdi varsayalım $|p(z)|=c.$ İzin Vermek $r>0.$ Sonra $p(D(z,r))$ açık haritalama teoremi tarafından açıktır, bu nedenle modülüs noktalarından daha az $c$ ve daha büyük modül noktaları $c.$ Böylece $D(z,r)\cap X$ ve $D(z,r)\cap X^c$ikisi de boş değil. Dan beri$r$ keyfi oldu $z\in \partial X.$ Bu son paragrafla kanıtlıyor $\partial X = \{|p|=c\}.$

Maksimum modül teoremini hatırlayın: Varsayalım $U$sınırlı açık bağlantılı bir kümedir. İzin Vermek$f$ sürekli ol $\overline U$ ve holomorfik $U.$ Maksimum ise $|f|$ oluşur $U,$ sonra $f$ sabittir.

Şimdi izin ver $C$ bağlantılı bir bileşen olmak $X.$ Biliyoruz $\partial C \subset \partial X,$ Hangi ima $|p|=c$ açık $\partial C.$ Ve tabi ki $|p|<c$ içinde $C.$

Varsaymak $C$ sıfır içermiyor $p.$ Sonra $p$ sıfır değil $\overline C,$kompakt bir set. Böylece$|p|$ bazılarında pozitif bir minimuma ulaşır $z_0 \in \overline C.$ MMT tarafından, $z_0\in C.$ Ama dikkat edin $1/p$MMT'nin hipotezlerini karşılar. Böylece MMT'yi tekrar kullanarak,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

Dan beri $|p(z_0|<c,$ bir çelişkimiz var ve işimiz bitti.