Ekvator ile eğimli büyük bir çemberin yay uzunlukları nasıl hesaplanır? $\phi°$ içine kırık $12$ boylamlara göre yaylar $30°$ ayrı?

Question

Büyük bir çember yatıyor $\phi°$ekvatora eğim. Boylamlar$30°$ ekvatoru bölen ayrı çizilir $12$ eşit boyut yayları (dünyanın yarıçapı$*30$). Eğimli büyük daire üzerindeki karşılık gelen yaylar, değişken uzunluklara sahip olacaktır. Herkes için alt açıları nasıl hesaplanır?$12$ yaylar?

---

Çözmeyi başardığım şey:

1. İşte şema: Sorunun açıklaması

2. $\phi =$ büyük çemberin en alt ve en yüksek noktasının enlemleri (işaretleri göz ardı ederek ör. $+/-$).

3. Her iki daire için yay uzunluğu $90°$ alt açı, çevrenin dörtte birine eşittir.

4. Haversine kuralı ve küresel trigonometri için sinüs kuralı ile çözmeye çalıştı , ancak programlandığında$12$ yaylar dünyanın çevresine eşit değildir.

---

Motivasyon:

Yayların incelenen açıları enlem ve boylama göre değişecektir. Bu hesaplama, geliştirmeye çalıştığım bir astroloji yazılımı için çok önemlidir. Herhangi bir yardım için şimdiden teşekkürler!

Answer 1

Kümülatr yay uzunluklarını hesaplamak daha iyi olabilir.

İzin Vermek $A$ arkın Ekvator'a çarptığı ve $B$ gittiğin herhangi bir nokta ol $A$. Çünkü$A$ iki noktadan biri olabilir, genelliği kaybetmeden varsayabiliriz $B$ tarafından değiştirildi $\le 180°$ boylam$A$. Boylam deplasmanını çağırın$\theta$.

Çizmek $\triangle ABP$ nerede $P$her iki kutup. Sonra$\angle P$ ölçümler $\theta$, ark $AP$ 90 ° ölçülerinde ve $\angle A$ ölçümler $90°-\phi$.

Üçgenleri çözerken genellikle sinüsler yerine kosinüslerle çalışmayı tercih ederim. Kosinüs fonksiyonu monotondur ve kesin tersi verir.$0°$ -e $180°$argüman geçtikçe sinüs işlevi kendi başına iki katına çıkar $90°$. Öyleyse kosinüs yasalarına bakın. Burada olduğu gibi iki açınız ve içerilen tarafınız olduğunda, İkinci Kosinüs Yasası en iyi şekilde çalışır. Bu üçgen için yasa üçüncü açı için şunu verir:$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Burada, sağdaki sıfırdaki ikinci terim, $AP$ ölçümler $90°$. Yukarıdaki bilinen açıları takmak daha sonra

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Daha sonra aynı yasayı bir kez daha uyguluyoruz, bu sefer $\angle P$ sol tarafta:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Bilinen değerleri yerine koyarak ve gerçeğini kullanarak $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ için $0\le u\le 180°$, anlıyoruz

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

ve yay uzunluğu için bu formül $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$