Eliptik, parabolik ve hiperbolik Riemann yüzeyleri: sınıflandırma?

Question

Riemann yüzeyleri üzerine Kra ve Farkas kitabında aşağıdaki (biraz sıra dışı) tanım verilmiştir:

Tanım IV.3.2 ( Bölüm IV.3 ). İzin Vermek$M$Riemann yüzeyi olabilir. Arayacağız$M$ eliptik, ancak ve ancak$M$kompakttır. Arayacağız$M$ parabolik, ancak ve ancak$M$ kompakt değil ve $M$negatif olmayan bir alt harmonik işlevi taşımaz. Arayacağız$M$ hiperbolik, ancak ve ancak$M$ negatif, sabit olmayan bir alt harmonik işlev taşır.

Soru. Parabolik ve hiperbolik yüzeyleri karakterize etmenin geometrik bir yolu var mı? Örneğin, varsayalım$M$ kompakt bir Riemann yüzeyi ve $x_1,\ldots, x_n$üzerinde puan vardır. Yüzey mi$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ parabolik?

Answer 1

Bu biraz alışılmadık bir terminolojidir, ancak açık Riemann yüzeylerinin sınıflandırma teorisinde yaygındır. Daha standart gösterim$P_G$ "parabolik" için ve $O_G$ "hiperbolik" için.

Yüzey $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ bu anlamda, "çıkarılabilir tekillik teoremi" ile paraboliktir (noktanın delinmiş bir mahallesinde yukarıdan sınırlanan bir alt harmonik fonksiyon, tam komşulukta bir alt-harmonik fonksiyona uzanır).

Özellikle formun yüzeyleri için bazı kriterler vardır. $M\backslash E$, nerede $M$ kompakt ve $E$kapalı bir alt kümedir. Ancak bu kriterler çok geometrik değil: kapasiteyi kullanıyorlar. Hausdorff ölçümleri açısından bazı sonuçlar verilebilir.$E$ ancak "gerekli ve yeterli" değillerdir.

Kitaplarda klasik sonuçlar bulunabilir

M. Tsuji, Modern fonksiyon teorisinde potansiyel teorisi, Maruzen, Tokyo, 1959 (bir AMS yeniden basımı var).

Ahlfors, Sario, Riemann yüzeyleri, Princeton UP, 1960.