En fazla alana sahip üçgen $\frac{7}{12}$.

Question

Varsayalım ki $75$Üç nokta eş doğrusal olmayacak şekilde bir birim küpün içindeki noktalar. Yukarıda verilenlerden, alanla en fazla üçgen oluşturan üç noktayı seçmenin mümkün olduğunu kanıtlayın.$\frac{7}{12}$. Verilen bu verilerden üçgenin alanını elde etmek nasıl mümkün olabilir? Lütfen yardım et. Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Birim küpü 27 küp boyutuna bölün $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Güvercin deliği prensibine göre, bu küplerden biri 75 puanın 3'ünü içerir. Verilen koşuldan, bu noktalar eşdoğrusal değildir. Böylece bir üçgen oluştururlar

Bir küpte $a$, bir üçgenin içine sığabilecek maksimum alanı $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Yan için $\frac{1}{3}$, bu $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Bu nedenle, bu üç nokta şundan daha küçük bir alan üçgeni oluşturur $\frac{7}{12}$

Answer 2

Puan seçin $(0,0,0)$ ve $(1,1,z)$ ve $(1,1,0)$. Bu üçgenin alanı$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Şimdi seçin $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Kalan 72 noktayı yerleştirmenin sonsuz yolu vardır, bu nedenle hiçbir 3 noktanın eş doğrusal olmamasını sağlamanın yolları bulunmalıdır.

Kalan noktalar örneğin düzlemde olabilir $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ ve dairesel bir şekil oluşturur.