'Eş alan' teriminin geçmişi nedir?
Merak ediyorum, 'ortak alan' teriminin işlevlerle ilgili geçmişiyle ilgili daha fazla bilgi sahibi olup olmadığını merak ediyorum.
Bulduğum iki kaynak:
Russell ve Whitehead, Principia Mathematica, 1915, sayfa 34:
bir şeyin veya diğerinin ilişkili olduğu tüm terimlerin sınıfı $R$denir tersi etki arasında$R$; tersinin etki alanıyla aynıdır$R$.
Cassius Keyser, Matematik Felsefesi, 1922, sayfa 168:
Bir ilişki $R$bir alan adı verilen bir şeye sahiptir , - her birinin bir şeyle veya diğeriyle ilişkisi olacak şekilde tüm terimlerin sınıfı - ve aynı zamanda bir ortak alan - tüm terimlerin sınıfı, bunlardan herhangi biri verildiğinde, onunla ilişkisi.
Bana öyle geliyor ki Keyser bir "ortak alan" dan bahsettiğinde, Russell ve Whitehead'in "sohbet alanı" ile aynı şeyden bahsediyor. Görünüşe göre, 'sohbet etki alanı'ndan' ortak etki alanına '....' ortak etki alanına gittik? Bu mantıklı görünüyor.
Ayrıca, her iki metin de işlevlerden değil ilişkilerden bahseder. Ancak, bir işlev elbette özel bir ilişki türüdür. Yani ... hala mantıklı.
Ancak! (ve gerçekten bu soruyu sormamın nedeni budur): bu iki metnin 'karşılıklı etki alanı' ve 'ortak etki alanı' hakkında konuşma biçimi (işlevlere uygulandığında) bugünlerde 'aralığı' veya 'görüntüsü' dediğimiz şeydir. fonksiyon ve değil bugünlerde onun 'eş-domain' dediğimiz.
Somut örnek:
Bir işlev al $f$ kimin etki alanı olarak tanımlanır $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, eş alanı şu şekilde tanımlanır: $\mathbb{R}$ve eşlemesi şu şekilde tanımlanır: $f(x) =1/x$.
Bu işlev için aralık veya görüntü $\mathbb{R} - \{ 0 \}$Russell & Whitehead, bu işlevi bir ilişki olarak görürsek, Keyser'ın "ortak etki alanı" olarak adlandıracağı "karşılıklı etki alanını" dikkate alacağı şeydir.
Ancak bu işlevin 'ortak etki alanı' şu şekilde tanımlandı: $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Bu yüzden, terimin kullanımında bir değişiklik olduğunu düşünüyorum ... Yani, bizde gibi görünüyor:
'sohbet alanı' -> 'ortak alan' -> 'aralık'
... "ortak alan" farklı bir şeyken!
Bu tuhaf! Ne oldu? Bunların herhangi biri hakkında fikir sahibi olan var mı?
Yanıtlar
Küme teorisindeki dualitenin erken tanınmasıdır. Domain vs Codomain, alan ve aralıkta eksik olan bir ilişkiyi önerir.
Simetrik olarak tanımlanmadıkları için işlevler önyargılı olduğundan, bu küme teorisinde gizlidir. Bire çok sayıda işlevi doğal olarak ve iki kez birden çok işlevi bire bir işleve doğal olarak yaptıkları kavramsallaştırmak da kolay değildir.
Bu, ikililiğin küme teorisinde gizli, sinsi bir şekilde yapılması yerine açık hale getirildiği kategori teorisinde sabittir. Dahası, kategori teorisi, Einstein'ın fiziksel hukukun genel karakterine ilişkin araştırmalarında sezgisel olarak kullandığı genel kovaryans nosyonunda olduğu gibi, kovaryansın doğru kavramsallaştırılmasıdır.
İlginç bir şekilde, sicim teorisinin en büyük keşiflerinden biri, ikililerin fizikte oynadığı roldür. (Sıradan fizikte, dualitenin elektrik ve manyetik alanlar arasındaki dualitede tezahür ettiğini görüyoruz). Temelde bunun kategori teorisindeki dualitelerle aynı kökene sahip olması beni şaşırtmaz.