$ f $ ayırt edilebilir $ (0,0). $

Question

Tanım: Let $V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$ açık bir set, $a\in V$ y $f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$bir işlev. Bunu söyleyeceğiz$f$ ayırt edilebilir $a,$ doğrusal bir dönüşüm varsa $f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$öyle ki \ begin {denklem} f (a + h) = f (a) + f '(a) (h) + r (h), \ qquad \ lim_ {h \ rightarrow 0} {\ dfrac {r (h )} {\ lVert h \ rVert}} = 0. \ end {equation}

İzin Vermek $ a \in \mathbb {R}$olmak. İşlevi tanımlayın$ f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R} $ veren

\ başlangıç ​​{denklem} f (x, y) = \ left \ {\ begin {matrix} \ dfrac {x \ sin ^ {2} (x) + axy ^ {2}} {x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}} & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {matrix} \ right. \ end {equation}

Değerini bulun $ a $ Böylece $ f $ ile ayırt edilebilir $ (0,0). $

Benim girişimim:

Biz gözlemledik

\ begin {equation} \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi y} (0,0). \ end {equation}

Eğer $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$ sonra

\ başlangıç ​​{denklem} \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi x} (x, y) = \ dfrac {\ sin ^ {2} (x) (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2}) + x \ sin (2x) (x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) + ay ^ {2} (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ end {equation}

\ başlangıç ​​{denklem} \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi y} (x, y) = \ dfrac {2axy (x ^ {2} -3y ^ {4}) - 4xy \ sin ^ {2} (x ) (1 + 3y ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ end {equation}

Eğer $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$ sonra

\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}

\ begin {denklem} f (x, y) = \ left \ {\ begin {matrix} x \ sin ^ {2} (x) & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x , y) = (0,0) \ end {matrix} \ right. \ end {equation}

\ başlangıç ​​{denklem} \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ kısmi f} {\ kısmi y} (0,0) \ end {equation}

Bundan şunu takip eder: $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ ve $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ tarafından süreklidir $(0,0)$ y $f$ ile ayırt edilebilir $(0,0).$

İddialarım doğru mu? Herhangi bir öneri açığız.

Answer 1

Bizde var

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$

$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$

sonra tanım gereği bunu kontrol etmeliyiz

$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$

gerçekten doğru olan $a=2$

$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$

$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$

sonra kutupsal koordinatları kullanın.

Answer 2

Biraz farklı bir yaklaşım:

Türevlenebilir olması için, bir fonksiyonun sürekli olması ve sürekli bir türevi olması (veya temel bir tekilliğe sahip bir türevi olması) gerekir. Süreklilik, yaklaşma yönünüzden bağımsız olarak, noktaya yaklaşırken sınırın aynı olmasını gerektirir.

Hat boyunca yaklaştığımızı varsayalım $x=y=\epsilon$. O zaman var (gerçeğini kullanarak$\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$: $$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$

Hat boyunca yaklaştığımızı varsayalım $-x=y=\epsilon$. O zaman bizde:$$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$

Her iki yönde de türevin sınırı vardı ve bu nedenle yaklaşımın yönü önemli olmadığından, sınırların aynı olmasını istiyoruz. $\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$bu şu anlama geliyor $a=-1$.