Farklı bir serideki kısmi toplamların sabit dizisi

Question

Harmonik dizide biz var $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ hepsi için $n$, diverjans anlamına gelir. Ancak, kısmi toplamlar$n$ -e $2n$, değerlendirildi $n$, eşit $\ln(2)$ hepsi için $n$. Bu, kısmi toplamlar dizisinin değere yakınlaştığı anlamına gelmez mi?$\ln(2)$, hangisi sırayla dizinin yakınsaması gerektiğini ima eder? Cauchy kriteri ve yakınsama vb. Hakkında temel bir şeyi anlamadığımı hissediyorum - bu aralıkla yaptığımız komik şeyler nedeniyle hiç de kısmi toplamlar dizisi değil mi? Yardımınız için teşekkürler.

Answer 1

İlk olarak, küçük bir şey: kısmi toplamlar $n$ -e $2n$ yaklaşmak $\ln{2}$ama asla ona eşit olmayacak. (Neden?)

İkincisi, daha önemli olan şey: Aslında, gösterdiğiniz şey, kısmi toplamların $\{ H_n\}$Cauchy değildir ve dolayısıyla yakınsak değildir. Gerçekten, Cauchy olsaydı, o zaman tanım gereği$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Bunun nedeni herhangi biri için$\epsilon > 0$var olması gerekirdi $N(\epsilon)$ hangisi için $|H_m - H_n| < \epsilon$ her ne zaman $m, n > N(\epsilon)$; sonra seçeriz$m = 2n$ buraya.