Farklı morfizm türleri içeren bir ön siparişe sahip olmak mümkün mü?
Matematikçi değilim, kategori teorisinde oldukça yeniyim ve şu soruyu soracağım:
Farklı morfizm türleri içeren bir ön siparişe sahip olmak mümkün mü? Her nesne arasındaki her çiftin hala yalnızca bir morfizmi vardır. Ancak söz konusu morfizm her zaman farklıdır (özdeşlik morfizmi dışında).
Gayri resmi bir örnek: David Spivaks'ın [1] Olog yaklaşımını takip ederek, sahibi tarafından satın alınan yiyecekleri her zaman yiyen aç bir köpek hayal edin.
Üç nesne varsayın: Bir Dogowner O, bir Dog D ve Köpek Maması F. Ek olarak dört morfizm varsayalım: "sahip", "yiyor", "satın alıyor" (satın aldığı tek şey olan "köpek maması alıyor" un kısaltması) ve " dır-dir".
Nesnelerin her biri kendisidir, bu nedenle her nesneden kendisine bir "var" morfizmi vardır. Buna göre, D "O" sahibi "O", O "F" yiyor ve D "F" satın alıyor Son olarak, köpek tanımı gereği her zaman açtır ve kendisine verilen tüm yiyecekleri yer, böylece
"o" yediği "ye" sahip olmalıdır "= "satın alır".
Bu durumda soru: Bu bir ön sipariş mi olur? Bir kategori için tüm kriterleri karşılar: Kimlik morfizmleri ve bileşimsellik verilir. [2] 'yi takiben, bir önsipariş için kriterleri de yerine getirir: "bir proset (katı) ince bir kategori: katı bir kategori, öyle ki herhangi bir x, y nesnesi çifti için, x'ten y'ye en fazla bir morfizm var. "
Bununla birlikte, olağan örneklerin hiçbirinde benzer bir şey görmedim: ⊆ ve ≤, ön siparişlerin olağan örnekleridir ve kategorideki nesnelere uygulanan tek morfizmlerdir.
Saygılarımızla Pavel
Not: Yanlış yolda olduğumun göstergesi olabilecek daha "resmi" bir örnek bulamadım.
KAYNAKLAR:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: A Categorical Framework for Knowledge Representation" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Yanıtlar
Evet, bu bir ön sipariştir. Kategori teorisinin temel kavrayışlarından biri, nesnelerin soyut özelliklerinin (ve aralarındaki morfizmaların) somut tanımlarından daha önemli olduğudur. Sizin de belirttiğiniz gibi, tanımladığınız kategori "bir ön sipariş gibi görünmüyor", çünkü morfizmlere şöyle adlar verilmiyor$\subseteq$ veya $\leq$. Ancak kategori teorisi isimlerle ilgilenmez. Kategoriniz bir ön sipariş tanımını karşılar, bu nedenle örneğin ön siparişler hakkında bazı fantezi teoreminiz varsa, onu bu kategoriye uygulamak tamamen geçerli olacaktır.
Kısa cevap evet. Morfizmlerin adları / anlamları verilerin bir parçası değildir: önemli olan, morfizmaların nasıl oluştuğudur. Bir kategori tanımlamanın, nesneler kümesini ve morfizm kümesini (kimlikler ve kompozisyon ile birlikte) belirtmek olduğunu unutmayın. (O olabilir$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ kesinlikle iyi biçimlendirilmiş bir küme değildir, çünkü önsel olarak öğeler tanımlanmamıştır, ancak genel olarak onu bir küme olarak düşünmek zararsızdır, çünkü herhangi bir kardinalite 3 setini almak uygun olacaktır.) morfizmaları istediğiniz gibi etiketlemekten çekinmeyin: isimleri unutursanız ve kompozisyonun yapısıyla birlikte temeldeki grafiği göz önünde bulundurursanız, tam olarak bir ön siparişinizin olduğunu göreceksiniz.