Farklı polinom fonksiyonlarının sayısı nasıl bulunur? $\mathbb{Z}_2$ -e $\mathbb{Z}_2$? [çiftleme]

Aug 18 2020

Herhangi bir pozitif tam sayı için $n$, kaç tane polinom var? $n$ bitmiş $\mathbb{Z}_2$? Kaç farklı polinom işlev görür?$\mathbb{Z}_2$ -e $\mathbb{Z}_2$?

Girişim: ilk bölüm benim için açık, çünkü var $2$ her katsayı için seçenekler ve $n$ katsayı yani $2^n$bu tür polinomlar. Farklı polinom fonksiyonları bulmam gereken ikinci bölümü anlamakta güçlük çekiyorum.

Eğer varsayarsam $p(x)$ ve $p'(x)$ iki eşit polinom fonksiyonudur $\mathbb{Z}_2$ öyle ki $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ ve $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, sonra $p'(x)=p(x)$ için $x=0,1$. Yani$a'_0=a_0$. Ve bu polinomların derecesi$n$ sonra $a_n=a'_n=1$. Dolayısıyla, farklı polinom fonksiyonları bulmak için$p(x)$ eşit olamaz $p'(x)$ her değeri için $x\in\{0,1\}$. Buradan devam edemem. Çözümler arıyordum. Her yerde görüyorum ki, tartışmaya sadece var olduğu gerçeğiyle başladıklarını$4$bu tür polinomlar ve daha sonra bu tür polinomların örneklerini verirler. Bu sorunu anlamak için yardıma ihtiyacım var. teşekkür ederim

Yanıtlar

5 Crostul Aug 18 2020 at 13:38

Yalnızca 4 farklı işlev vardır $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Bunun nedeni, işlevler kümesinin öneminin$A \to B$ dır-dir $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ her ne zaman $A,B$ sonlu kümelerdir.

Polinom fonksiyonlar oldukları anlaşılıyor. Gerçekten onlar$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Böylece hepsini bulduk.

3 RiversMcForge Aug 18 2020 at 13:59

Bitmiş $\Bbb{Z}_2$polinom $x(x+1) = x^2 + x$ aynı $0$bu, değiştirebileceğim anlamına gelir $x^2$ ile $x$herhangi bir polinom ifadesinde ve aynı değeri alır. Bunu tekrar tekrar kullanmak$\Bbb{Z}_2$polinom $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ her zaman polinom ile aynı değeri verir $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ ve bu yüzden sadece var $4$ ayırt edilebilir polinomlar $\Bbb{Z}_2$olup olmadığına bağlı olarak $a_0 = 0$ veya $1$, ve olup olmadığı $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ veya $1$.

JensSchwaiger Aug 18 2020 at 13:42

İlk sorunuzun cevabı şöyle olmalı $2^{n-1}$ ziyade $2^{n}$ çünkü katsayısı $x^n$ her zaman $1$.

İkinci kısım için, tüm polinom fonksiyonlarının setinin sizin durumunuzdaki tüm fonksiyonların seti olduğuna dikkat edin .

DÜZENLEME: Yorumda belirtilen, bu cevabın ilk kısmının yanlış olduğu belirtildi.