Farklılığı doğrulayın $x=0$
Yani üzerinde çalıştığım sorun ifadesi
Belirsiz integralini bulun $\exp(-|x|)$ göre $x$.
Aşağıda bir cevap verdim, ancak sonunda birkaç sorum var. Sanırım önce çalışmamı gösterirsem daha kolay olur (alternatif olarak doğrudan soruma atlamak için son paragrafa gidin).
Cevabım \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
ekledim $2$ başından beri grafiğin sağ tarafına $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
Kaldırılması gereken süreksizliği görselleştirmek için bir grafik ekledim. Kesin konuşmak gerekirse, burada işim bitmedi çünkü hala anti-türevin başlangıçta ayırt edilebilir olduğunu göstermem gerekiyor. Bu nedenle türev tanımını kullanmaya çalıştım, yani
\ begin {equation *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {equation *}
ancak bunun doğru olup olmadığından gerçekten emin değilim:
Sol El Sınırı
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
Sağ El Sınırı
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
bundan eklemek gibi görünüyor $2$Farklılık için bu kanıtta gerçekten bir fark yaratmadı mı? Ayrıca Rule of L'hopital'i limit kanıtı olarak kullandığım için kendimi iyi hissetmiyorum, ancak devam etmenin başka bir yolu yoktu, bu yüzden bu durumda bulabileceğim en iyi şey buydu.

Yanıtlar
Ekleme $2$limitlerin hesaplanmasında çok yardımcı olur. Sol el sınırını büyük ölçüde etkiler. Paya bak$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ İşte sol $F$ kullanır $C_1$ ve doğru $F$ kullanır $C_2$, bu yüzden bu pay yaklaşmaz $0$ hiç eklemediğiniz sürece $2$.
L'Hopital'den nasıl kaçınılacağına gelince, bu nasıl tanımladığınıza bağlıdır. $\exp$. Her halükarda, sol taraf sınırınızın aslında sol taraftaki türevine eşit olduğunu not edebilirsiniz.$e^x$ -de $x=0$(sadece bunu türevin tanımına ekleyin ve aynı şeyi aldığınızı görün). Benzer şekilde, sağ taraf sınırı, sağ taraftaki türevine eşittir.$-e^{-x}$ -de $x=0$. Yani bu iki türevin ne olduğunu zaten biliyorsanız, işiniz bitmiştir.
Eğer eklemezsen $2$, işleviniz sürekli bile olmayacak $0$ve bu nedenle bu noktada farklılaşmayacaktır. Eğer koymazsan$0$, sol türev $0$ olacak$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
Solda ters türevi
$$e^{x}+C_-$$ ve sağda
$$-e^{-x}+C_+.$$
Buluşma noktasında süreklilik sağlanmalıdır (çünkü bu bir ters türevdir) ve $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ gerekli.
Şimdi pozitif için $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ ve $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$böylece RHS'deki limit varsa, türev var olur. Ve negatif üsselin doğru türevi olduğu için kesinlikle var.
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ sürekli bir harita bileşimi olduğu için sürekli bir haritadır.
Bu nedenle, onun belirsiz integralinin türevinin var olup olmadığını kontrol etmenize gerek yoktur. Analizin temel teoremi tarafından var olur.
Eşitlik
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ yazdığın bir anlam ifade etmiyor.
Belirsiz integral birdir, sıfırın solunda ve sağında farklı değildir.
Ne yazabilirsin
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
Ve sonra davaları ayırın $x<0$ ve $x \ge 0$.