FOL'de "Her öğrenci en az bir dersi geçti" ifadesi

Question

Benim sorum:

Bu cümleyi birinci dereceden bir dille ifade edin: "Her öğrenci en az bir dersi geçti".

Bu öğretmenimin cevabı:

Biz tanımlıyoruz $S(x)$ "nesne olarak $x$ öğrenci" , $C(x)$ "nesne olarak $x$ bir sınıf "ve $P(x,y)$ yüklem mantığı olarak - "öğrenci" anlamına gelen sembol $x$ sınıfı geçti $y$". Böylece sahibiz:

$\forall x (S(x) \rightarrow \exists y [C(y) \land P(x,y)])$.

Sorum şu: "$\forall x S(x) \exists y ( C(y) \land P(x,y))$". İkincisi neden yanlış?

Answer 1

Belki bir yerde bir şeyler okudunuz

$\forall x \in \mathbb{N} P(x)$

ve aynı kalıbı söz konusu cümleye uygulamaya çalışın $x \in \mathbb{N}$ karşılık gelen $S(x)$ ve $P(x)$ -e $\exists y ...$.

Ancak yukarıdakiler kesinlikle birinci dereceden bir formül değil, sadece kısaltmasıdır.

$\forall x (x \in \mathbb{N} \to P(x))$

ve normalde yalnızca set üyelik ifadeleriyle kullanılır $x \in Y$, gibi yüklemler değil $S(x)$.

İki formül iddia ediyorsanız $S(x)$, $\exists y ...$ daha sonra yüklem mantığının sözdizimine göre, aralarında bir bağlantıya sahip olmalısınız, böylece her şey başka bir formül haline gelir ve bu, teklifinizde eksiktir.

---

Ayrıca yorumlarda belirtildiği gibi,

$\forall x S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y))$

olduğu değil doğru çözüm. Öğretmenin muhtemelen yazdı

$\forall x (S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y)))$

- $\forall x$ sonuç olarak değişmelidir, yalnızca $S(x)$.