Fonksiyon uzaylarının toplamına ilişkin norm
Bir alan toplamına bahşedilen norm için kongre nedir $X+Y$ve boşlukların kesişme noktasında $X\cap Y$?
Yazarların normu açık bir şekilde yazmadan bir dizi işlev alanı kullandıkları ve daha fazla yorum yapmadıkları bir makale okuyorum.
Bunun belki de en makul norm olduğunu düşünüyorum $X\cap Y$ dır-dir $\|f\|_X +\|f\|_Y$ norm ile $X+Y$ sonra olmak $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.
Bu soru yineleniyorsa özür dileriz, bu durumda onu silmekten memnuniyet duyarım. Math stackexchange hakkında benzer bir soru bulamadım.
Yanıtlar
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
Varsayalım ki $X$ ve $Y$ Hausdorff topolojik vektör uzayına sürekli olarak yerleştirme $Z$ (Böylece $X\cap Y$ ve $X + Y$mantıklı olmak). Genellikle kullanılan normlar şunlardır:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ İçin norm $X \cap Y$mantıklıdır ve önerdiğiniz normla eşdeğerdir. İçin$X+Y$ne yazık ki, iki normun minimumu bir norm değildir.
Bunun yerine alanı düşünün $X \oplus Y$ norm ile $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Altuzaya bak$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Sonra$X + Y$ bölüm uzayına izomorftur $(X \oplus Y) / U$. Bu, hızlı bir kanıt sağlar$X + Y$ Yukarıdaki normla donatılmış gerçekten bir Banach alanıdır.