Frobenius karşılıklılığını anlamak

Question

Aşağıdaki önermenin kanıtını anlamaya çalışırken sıkıştım:

İzin Vermek $\pi$ indirgenemez bir temsili olmak $G=GL_2$. O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

• $\pi$ bir alt uzayına eşdeğerdir $Ind_B^G \chi$ bir karakter için $\chi$ nın-nin $T$ ;
• $\pi$ önemsiz karakterini içerir $N$.

Burada olağan notasyonları kullanıyoruz: $B$ üst üçgen matrislerin standart Borel'i, $N$ tek kutuplu üst üçgen matrisler ve $T$ köşegen matrislerin simidi.

Bunun Frobenius Reciprocity'nin basit bir sonucu olduğu belirtiliyor, ancak işin içine girdiği yeri anlamıyorum.

Answer 1

Sanırım sonlu gruplardan ve bunların karmaşık temsillerinden bahsediyorsunuz.

Frobenius karşılıklılığıyla, biliyoruz $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$Bunun iddiayı kanıtladığını da biliyoruz .

Answer 2

Tarif ettiğiniz şey Harish-Chandra indüksiyonu ve kısıtlamasıdır. Eğer$\psi$ bir karakterdir $T$, yazmak $R_T^G(\psi)$ için $\psi$ şişirilmiş $B$ve sonra indüklendi $G$. Öte yandan, eğer$\chi$ bir karakterdir $G$, yazmak ${}^*R_T^G(\chi)$ ilk elde edilen karakter için $B$ve sonra bu boşluğun tek kutuplu alt grup tarafından sabitlenen alt uzayını alarak $U$. Bu doğal olarak bir karakter olur$T$.

Frobenius recpirocity, herhangi bir karaktere uygulanır. $G$ ve herhangi bir karakteri $T$, verim $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. HC kısıtlamasında simitten şişirilmemiş tüm karakterleri görmezden geldiğimiz bu uyarıyı görmek için. Böylece$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ nerede $\downarrow$ standart kısıtlamadır.

Öte yandan, HC-indüksiyonu basitçe bir Borel'den standart indüksiyondur, ancak yalnızca belirli karakterler için. Bu durumda$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Böylece Frobenius karşılıklılığı ispatı tamamlar.

Eğer $\pi$ önemsiz karakterini içerir $N$, sonra $\pi$ bir karakteri (enflasyonu) vardır $T$ kısıtlamasıyla $B$. Dolayısıyla Harish-Chandra kısıtlaması sıfırdan farklıdır. İzin Vermek$\chi$onun bileşenlerinden biri olun. Sonra HC-indüksiyonu$\chi$ içermelidir $\pi$ yukarıdaki ifadeyle.