genlikleri nasıldı $\cos$ve $\sin$seçilmiş?

Question

neden kullandığımızı anlamıyorum$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$aşağıdaki dönüşümde. Birisi açıklamaya yardımcı olabilir mi?

itibaren

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

dönüştürmek

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

İzin Vermek$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$ve$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

Formun önemli kısmına odaklanalım.$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$olarak ifade etmek istediğimiz$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Gerekli (ve yeterli) bir koşul,$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$ve bu nedenle$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Buradan$$ A^2=a^2+b^2 $$İstiyoruz$A>0$(gerekli değil, ama uygun), yani$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Son iki gereklilik yerine getirilebilir, çünkü$(a/A,b/A)$birim çember üzerinde bir noktadır.

Answer 2

Bu, vektörü normalleştirmenin bir yoludur.$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$yani

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

uzunluğu eşittir$1$ve bu, sonraki dönüşümü gerçekleştirmeye izin verir$\cos \phi$ve$\sin \phi$.