Gömme $\sqrt{|i-j|}$ mesafe $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$
Metrik alanı düşünün $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ öyle ki:
$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$
Yapabilmek $(X,d)$ izometrik olarak gömülmek $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Durum buysa, bazı doğal izometri bulabilir miyiz?$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?
Biraz bağlam eklemek için rastgele yürüyüşü düşünüyorum:
$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$
nerede $X_i$'ler bağımsız standart Gaussianlardır. $S=(S_1,\ldots,S_n)$ normal olarak dağıtılır (çünkü her yöndeki izdüşümleri de böyledir), bu nedenle mevcut $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ öyle ki:
$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$
nerede $g$ bir $n$boyutlu standart Gauss. Ama çıkıyor:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$
bu, yerleştirmenin varlığını ifade eder. Bunun açık bir kanıtı olup olmadığını merak ediyordum (elbette olmalı!).
Yanıtlar
İşte böyle bir yerleştirme: tanımla $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$