Hacim karşılaştırmasına ilişkin diferansiyel eşitsizlik
İzin Vermek $(M,g)$ tam olmak $n$boyutlu Riemann manifoldu ve izin $p \in M$. Düşünmek$(t,\Theta)$ jeodezik küresel koordinatlar $p$, nerede $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ ve $\Theta$ birim vektördür $T_pM$. İzin Vermek$A_p(t,\Theta)$bu koordinatlardaki hacim ölçüsünün yoğunluğu, yani \ begin {equation *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {equation *} Gromov durumlarının iyi bilinen bir teoremi Eğer$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, ardından \ begin {equation} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {equation} haritası non artan$t$. Her zaman oldugu gibi,$sn_{\kappa}$tarafından verilir \ begin {hizalama *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {olgu} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & K> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {case} \ end {align *} Şimdi şunu yapmak istiyorum kesit eğriliği olduğunda benzer bir sonucu kanıtlayın$M$yukarıdan sınırlıdır. Yani, eğer$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, sonra
\ başlangıç {denklem *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ sağ) + \ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ sağ) \ geqslant 0 \ end {denklem *} I ' Gromov tarafından verilen argümanı taklit etmeye çalışıyorum,$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ ve bunu hesapla $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, nerede $\text{II}(t)$ ikinci temel şeklidir $\partial B(p,t)$. Ama monotonluk hakkında bir açıklama yapmadığımız için, güçten nasıl kurtulabilirim bilmiyorum$(n-2)$. Böyle bir ifadeyi doğrudan farklılaştırmak korkutucu ve sıkıcı görünüyor ve Jacobi alanlarının normunun tahminine çok benzediği için soruna bir kısayol olduğuna inanıyorum. Sorunun herhangi bir kavrayışı takdir edilecektir.
$\textbf{Update}$: Geçen gün bir çözümüm olduğunu düşünmüştüm ama tekrar kontrol ettikten sonra işe yaradığını sanmıyorum. İşte yaptığım şey: Let$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ hesap numarası kullanılabilir $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $için hesapla bu \ {hizalamak *} \ varphi '(t) = (\ log \ varphi (t))' başlar \ varphi (t) \\ & = (A_ {s} (t, \ Teta) log \ - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {hizala *} ve bu \ başla {hizala *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ ucu {hizalamak *} Not bu$\varphi(t)$ negatif değildir $t$küçüktür, bu nedenle orijinal eşitsizliğin doğru olduğunu göstermek için, \ begin {equation *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { olduğunu göstermek yeterlidir sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {denklem *}
İkinci karşılaştırma tahminini hatırlayın (bkz. Peterson Sayfa 145 Kor 2.4), eğer kesit eğriliği yukarıda ile sınırlanmışsa $\kappa$, ardından ikinci temel formun her bir bileşeni aşağıdan sınırlanabilir, yani \ begin {equation *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {denklem *} bize \ begin {equation} \ text {tr verir } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ etiket{$\star \star$} \ end {denklem} ve \ begin {denklem *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {denklem *} Bu ifadeyi tekrar yerine koymayı düşündüm$\star$çünkü sorunu çözmek \ {denklem *} başlar (\ frac {\ Metin {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ metni {sn} _ {\ kappa} (t)})' (+ \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {denklem *} Ama yaptım bunu beyan etmekle ölümcül bir hata$f \geqslant g$ ima eder $f' \geqslant g'$! Görece güzel bir ifadem olmasına rağmen başa dönmüş gibiyim. Herhangi bir içgörü veya yardım takdir edilecektir.
Yanıtlar
Profesörüm bana bu problemi nasıl çözeceğime dair bir fikir verdi. \ Başladıktan sonra {denklem *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Bölüm A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Bölüm B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *} Riccati'nin denklemini yeniden yazmak için kullanabiliriz \ begin {hizala *} \ text {Kısım A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {hizala *} Ve genişledikten sonra$\text{Part B}$, $\star$olur (n-2) \ frac {\ metni {sn} '_ {\ kappa} (±) - {hizalamak *} \ underbrace {[\ metni {tr} (\ metni {II} (t)) başlamak \ } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Bölüm A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Bölüm B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {hizala *} nerede$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ özdeğerleridir $\text{II}(t)$. Son eşitsizlik, Petersen'in kitabında Sonuç 2.4'te belirtilen Hessian karşılaştırmasından kaynaklanmaktadır.