Hamiltoniyenler için kuantum alan teorisindeki pozitif enerji koşulu, farklı zamansal öldürme vektörleriyle ilişkili
Unruh etkisi iyi bilinen bir örnektir. $H$ ve $\hat H$farklı timelike Killing vektör alanlarıyla ilişkili her ikisi de, herhangi bir uzay-zaman izometrisi ile birbirleriyle ilişkili olmasalar da, aynı Hilbert-uzay gösteriminde daha düşük bir sınıra sahiptir. Bu soru bir genelleme soruyor.
Hilbert uzayına etki eden alan operatörleri ile ifade edilen düz uzayzamandaki bir kuantum alan teorisini düşünün. İzin Vermek$K$ ve $\hat K$İki farklı zaman benzeri Killing vektör alanı olabilir, herhangi bir izometri ile birbiriyle illa ki ilişkili değildir ve tüm uzay-zamanı kapsaması gerekmez. (Örnek olarak, Rindler koordinatlarını düşünün.)$R$ Her iki Killing vektör alanının da tanımlandığı uzay-zaman bölgesi olabilir ve gözlemlenebilirlerin cebirini $R$. İzin Vermek$H$ ve $\hat H$ bu gözlemlenebilirlerin çevirilerini üreten operatörler (Hamiltonianlar) olun $K$ ve $\hat K$, sırasıyla.
Soru: Cebirin bir Hilbert uzayında Hamiltonianlardan birinin spektrumunun$H$alt sınırı vardır. Bu, diğer Hamiltoniyen'in spektrumunun$\hat H$ ayrıca bir alt sınırı vardır (aynı Hilbert uzayı gösteriminde)?$^\dagger$
Su geçirmez bir kanıt aramıyorum, sadece zorlayıcı bir argüman - özgür bir alan teorisindeki her adımı kontrol edebileceğim kadar net bir şey.
Bu arada, bu tanıdık gelmiyorsa: Hamilton yoğunluğunun kuantum alan teorisinde mutlaka pozitif tanımlı olması gerekmez, Hamiltoniyenin kendisinin pozitif tanımlı olduğu bir temsilde bile. Bkz. Fewster (2005) "Kuantum Alan Teorisinde Enerji Eşitsizlikleri",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, diyor ki (sayfa 2):
kuantum alanlarının tüm bu noktasal enerji koşullarını [4] ihlal ettiği uzun zamandır bilinmektedir ve birçok modelde, enerji yoğunluğu aslında fiziksel olarak makul durumlar sınıfına göre aşağıdan sınırsızdır.
$^\dagger$ Soru, operatörlerin bir Hilbert uzayında nasıl temsil edildiğiyle ilgilidir. Bu önemli çünkü$H$Genellikle, çoğu Hilbert uzayı temsillerinde, bunlardan birinde olsa bile alt sınırı yoktur. Spektrum koşulu, sadece gözlemlenebilirlerin soyut cebirinin bir özelliği değil, belirli bir Hilbert uzayı temsilinin bir özelliğidir.
Yanıtlar
Cevap hayır ve ironik bir şekilde, soruyu motive etmek için kullandığım örnek aslında bir karşı örnektir: Rindler Hamiltonian'ın spektrumunun bir alt sınırı yoktur.
Rindler Hamiltonian, Minkowski uzay zamanında artışlar üretir. Stres-enerji tensörü cinsinden bir ifade denklem (25) 'de gösterilmiştir.
- Jacobson, "Uzay-zamanda Kara delikler ve Hawking radyasyonu ve benzerleri", https://arxiv.org/abs/1212.6821
Bu ifade, Rindler Hamiltoniyen'in alt sınırının olamayacağını açıkça ortaya koymaktadır.
Geriye dönüp bakıldığında, bu simetri ile aşikardır. Artışın tersi, uzamsal bir yansıma ile birleştirilmiş bir güçlendirme ile aynıdır. Uzamsal bir yansıma spektrumu değiştirmez, ancak tersi spektrumun işaretini çevirir. Bunların aynı olabilmesinin tek yolu, spektrumun sıfır civarında simetrik olmasıdır. Bu nedenle, spektrumun üst sınırı yoksa, alt sınırı da olamaz.
Notlar:
Jacobson'ın makalesi (yukarıda alıntılanmıştır), yalnızca bir "Rindler kaması" üzerinde bütünleştirmeyle elde edilen kısmi bir Hamiltoniyeni dikkate alır , ancak bu entegrasyon yüzeyi bir Cauchy yüzeyi değildir. Tam Hamiltoniyen'i bir Cauchy yüzeyinde görmek için, sol ve sağ Rindler takozlarını birlikte düşünmemiz gerekir ve sonra tam Hamiltoniyen'in alt sınırının olamayacağı açıktır.
Unruh-etki literatürünün bazılarının "vakum durumu" adını "en düşük enerji durumu" ndan farklı bir anlama gelecek şekilde yeniden tanımladığına dikkat edin.
Bazı inceliklerin dikkatli bir analizi için bkz. Requardt, "The Rigorous Relation between Rindler and Minkowski Quantum Field Theory in the Unruh Scenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403
QFT'de (kuantum alan teorisi) Lagrangian yoğunluğu $\mathcal L$Lorentz değişmez olarak inşa edilmiştir. Lagrangian'a göre bir Hamilton yoğunluğu oluşturursunuz$\mathcal H$pozitif tanımlı olması istenen.
Referans sistemini değiştirirseniz, resmi olarak Lagrangian değişmez, dolayısıyla Hamiltonian da değişmez. Sonuç olarak, dönüştürülmüş alanlara uygulansa bile, Hamiltonian'ın pozitif kesinliği korunacaktır.
Bir Minkowski vakumu başlatabileceğinizi varsayalım $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. O zaman herhangi bir zaman benzeri Öldürme vektörü için (zaman benzeri bir eğri veya hızlandırılmış bir gözlemci belirtmek olarak düşüneceğim) boşluk olup olmadığını sorabiliriz. Yerel olarak, öldürme alanının tanımlandığı uzaydaki bölge, Rindler koordinatları şeklinde konulabilir. Diğer bir deyişle, uygun zamanın her bir örneğinde ivmenin ne olduğunu biliyoruz ve genel kovaryans size yerel fiziğin Minkowski uzayıyla aynı olduğunu söylüyor. Dolayısıyla, bu gözlemci için Minkowski vakumu termal bir durum gibi görünmeli, belki de değişen bir sıcaklıkta. Başka bir deyişle, hızlandırılmış bir gözlemci her zaman bir kişinin bir sıcaklık atayabileceği etkili bir ufuk görür, bu nedenle sorularınızın Unruh etkisi ile yanıtlanması gerekir.