Hangi tam kafesler, indirgenemez kafeslerin bir ürününe izomorfiktir?
Herhangi bir tam latis ailesi verildiğinde $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ hepsi için $i\in I$ gösteririz $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ ve $X=\prod_{i\in I}X_i$ tam bir kafes tanımlayabileceğimize dikkat edin $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (buna onların ürünü deyin) $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, için tanımlanmış $a,b\in X$ aşağıdaki gibi: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ Ayrıca eğer $S\subseteq X$ sonra $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ ve $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ ek olarak, tek elemanlı herhangi bir kafesi önemsiz olarak adlandırıyoruz ve tam bir kafes diyoruz $\mathfrak{L}$ iki veya daha fazla önemsiz olmayan tam kafes ailesi yoksa indirgenemez $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Şimdi tüm bunların söylendiği gibi, sorum şu ki, tam kafesler ne zaman indirgenemez kafeslerin bir ürününe izomorfiktir? Örneğin, bunu belirlemek için 'temel' veya 'yararlı' kriterler var mı? İndirgenemez kafeslerin herhangi bir ürününe izomorfik olmayan tam kafes örnekleri nelerdir ? Biri bana bunlardan birkaçını verebilir mi?
Açıktır ki, herhangi bir sonlu tam kafes, indirgenemez kafeslerin bir ürününe izomorfiktir, çünkü eğer kafesin kendisi indirgenemezse, aksi halde bunu ebeveynin alt örgüleri olan ve bu nedenle her biri daha küçük olan kümelerdeki kafesler olarak ifade edilebilen iki kafese çarpanlara ayırabiliriz. Ebeveyn kümesi, bu nedenle bu işlemi tekrar tekrar tekrarlamak, bize, ürünü ebeveynimize eşit olan indirgenemez bir kafes ailesi sağlayacaktır (bu işlem, bu kafeslerin her biri için daha küçük boyutlu kümelerde olacaktır ve tanım gereği, herhangi bir önemsiz kafes indirgenemezdir) Bu nedenle, böyle bir kafesi tek bir öğe üzerindeki bir kümeye indirgediğimizde işimiz bitti
Ek olarak, herhangi bir tam kafes varsa $L_1\cong L_2\times L_3$olduğu değil o zaman indirgenemez kafeslerinin bir prdouct izomorftur$L_2$ veya $L_3$Hangi değildir , böylece herhangi bir kafes bakınız önceki işlemini uygulayarak indirgenemez kafeslerinin bir ürüne izomorfik olmayan indirgenemez kafeslerinin bir ürüne izomorfik değil, aynı zamanda alt a˘ga sonsuz sayıda içermelidir indirgenemez kafeslerinin bir prdouct izomorf ..
Yanıtlar
İçin dağıtıcı örgüleri, bu soruları anlamanın oldukça basit bir yolu yoktur. Yani, unutmayın ki$L=A\times B$ iki kafesin ürünüdür, elemanlar $(1,0)$ ve $(0,1)$ birbirlerinin tamamlayıcısıdır (birleşimleri $1$ ve onların buluşması $0$). Tersine, eğer$L$ dağıtıcı bir kafestir ve $a,b\in L$ birbirlerinin tamamlayıcısıdır, o zaman $L\cong A\times B$ nerede $A=\{x\in L:x\leq a\}$ ve $B=\{x\in L:x\leq b\}$. Gerçekten de düzeni koruyan bir harita var$f:L\to A\times B$ haritalama $x$ -e $(x\wedge a,x\wedge b)$ ve harita $A\times B\to L$ gönderme $(x,y)$ -e $x\vee y$ tersidir $f$ dan beri $L$ dağıtıcıdır.
Dolayısıyla, bir dağıtıcı kafes, önemsiz tamamlanmış unsurları olmadığı sürece indirgenemez. Herhangi bir dağıtım kafesinde tamamlanmış elemanlar kümesi$L$ Boole cebirini oluşturur, diyeceğim $B(L)$. Ayrıca, bir dağıtım kafesi$L$ bir ürün $\prod_{i\in I} L_i$, sonra $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
Özellikle, eğer $L$ (önemsiz) indirgenemez kafeslerin bir ürünüdür $\prod_{i\in I} L_i$, sonra $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, Her biri $B(L_i)$ sadece iki elemanlı kafes $\{0,1\}$. Dahası,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ nerede $e_i\in L$ dır-dir $1$ üzerinde $i$koordinat ve $0$ diğerlerinde ve bu unsurlarda $e_i$ sadece Boole cebirinin atomlarıdır $B(L)$. Bu tanımlama ile projeksiyon$L\to L_i$ sadece harita $x\mapsto x\wedge e_i$.
Böylece, bir dağıtım kafesi olduğu sonucuna vardık. $L$ harita dışında indirgenemez kafeslerin bir ürününe izomorfiktir $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ bir izomorfizmdir, burada $I$ atom kümesidir $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, ve $i$koordinatı $f$ harita $x\mapsto x\wedge i$. Eğer$L$ tamamlandı, bunlar $L_i$otomatik olarak da tamamlanacaktır. Özellikle için gerekli bir koşul$L$ indirgenemez kafeslerin bir ürününe izomorfik olmak için $B(L)$ bir güç kümesi Boole cebirine izomorfik olmak.
Yani, örneğin, eğer $L$ bir güç kümesine izomorfik olmayan tam bir Boole cebiri, o zaman $L$indirgenemez kafeslerin ürünü değildir. Açık bir örnek için,$L$ düzenli açık altkümelerin kafesi olabilir $\mathbb{R}$veya Borel alt kümelerinin kafesi $\mathbb{R}$ Lebesgue ölçümünün modulo setleri $0$. Farklı bir örnek için,$L$Cantor kümesinin açık alt kümelerinin kafesi olabilir. Sonra$B(L)$ atomsuz olan (ve aslında tam bile olmayan) Cantor kümesinin clopen alt kümelerinin Boole cebiridir.
Bir örnek için $B(L)$ bir güç seti ama $L$ hala indirgenemez kafeslerin bir ürünü değil, $L$ açık alt kümelerinin kafesi olmak $\beta\mathbb{N}$. Sonra$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$ama atomları tek tonlardır $\{n\}$ için $n\in\mathbb{N}$ yani harita $L\to\prod_{i\in I}L_i$ yukarıda açıklandığı gibi harita $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ açık bir alt kümesini göndermek $\beta\mathbb{N}$ ile kesişme noktasına $\mathbb{N}$enjekte edici olmayan.