Hemen hemen her yerde sıfır fonksiyonların dizisinin düzgün yakınsaması

Question

İzin Vermek $B([a , b])$ kapalı sınırlı aralıktan sınırlı ve ölçülebilir fonksiyonların uzayı olabilir $[a , b]$ içine $\mathbb R$sup normu ile donatılmıştır. Bunun bir Banach alanı olduğunu biliyorum.

Şimdi aşağıdaki vektör alt uzayını düşünün $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Bunu nasıl gösteririm $L_{0}$ kapalı bir alt uzaydır $B([a , b])$.

Benim girişimim şu şekilde:

İzin Vermek $f \in B([a , b])$ sınır noktası olmak $L_{0}$. Sonra bir dizi var$( f_{n} )$ içinde $L_{0}$ öyle ki $f_{n} → f$ tekdüze ve dolayısıyla $f_{n} (x) = f (x)$ hepsi için $x \in [a , b]$. Şimdi beri$f_{n} = 0$ herkes için ae $n\in\mathbb N$ ve tam ölçü alt kümelerinin sayılabilir kesişimi bir tam ölçü alt kümesi olduğundan, $f = 0$ae Hatalıysam herhangi bir düzeltme çok takdir edilmektedir. Herhangi bir yardım için teşekkürler.

Answer 1

İzin Vermek $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ bir dizi $L_0$ bir işleve yakınlaşan $f$. Özellikle,$f_n(x)\to f(x)$ ae ve dolayısıyla $f=0$ ae Bu nedenle, $L_0$ sırayla kapanır ve bu nedenle kapanır.