Herstein alıştırması: Sonlu bir G grubunun bir alt grubu, öyle ki $|G| \nmid i_G(H)!$ önemsiz olmayan normal bir alt grup içermelidir.
Bu, Herstein'ın Abstract Algebra'dan (1996) 'Daha Zor' bir problemdir. Bunu nasıl yapacağımı çözemiyorum. çok benzer bir gönderi bulmama rağmen . Aşağıda sorunun kelimesi kelimesine bir ifadesi yer almaktadır.
Eğer $G$ sonlu bir gruptur, $H$ alt grubu $G$ öyle ki $n \nmid i_G(H)!$, nerede $n=|G|$normal bir alt grup olduğunu kanıtlayın $N \neq (e)$ nın-nin $G$ içerdiği $H$.
Not: Yaklaşık bir haftadır buna takılı kaldım ve şimdi havluya atıyorum, bu yüzden bir çözüm için gerçekten minnettarım, ama bunun yerine bana ipuçları vermenizi alçakgönüllülükle rica ediyorum ki bu sorunu ortadan kaldırabileyim ( bir nevi) kendi başıma, açıkçası umudumdan vazgeçtim.
Yanıtlar
Farz et ki $H$ indeksi var $n$ içinde $G$. (Diyelim ki) kosetlerindeki eylem$H$ bir homomorfizma neden olur $\phi:G\to S_n$ve bu haritanın çekirdeği ,$H$ içinde $G$, en büyük normal alt gruptur $G$ içerdiği $H$. Bu nedenle çekirdek önemsiz değildir, ancak ve ancak alt grup$N$ Var olmasını istiyorsun, öyleyse izin ver $N$bu çekirdeği gösterir. Dan beri$G/N$ bir alt grubuna izomorfiktir $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Fakat$|G|\nmid n!$, ve bu nedenle $|N|>1$.