Hilbert uzayının kapalı olmayan alt uzaylarını sınıflandırmak mümkün müdür?

Question

İzin Vermek $H$ Hilbert'in alanı olabilir.

Çılgınca süreksiz doğrusal işlevler hakkındaki önceki sorumla motive olmuş , ki bu, yoğun hiper düzlemleri sınıflandırma girişimi olarak yorumlanabilir.$H$, şimdi doğrudan konuya geçmeme izin verin:

Sorular .

1. Yoğun hiper düzlemler arasında önemli farklılıklar var mı? $H$?

2. Eğer $L$ ve $M$ iki yoğun hiper düzlem var $H$, üniter bir operatör eşlemesi var mı $L$ -e $M$?

3. (2) 'nin cevabının olumsuz olduğunu varsayarsak, üniter grubun doğal eylemi için kaç tane yörünge vardır. $\mathscr U(H)$ yoğun hiper düzlemler setinde?

---

Genel (kapalı veya yoğun değil) alt uzaylarından bahsetmişken $H$Bu konuda söylenebilecek birkaç şey var.

Örneğin, bu tür boşlukların tümü, sınırlı bir operatörün aralığı olarak tanımlanamaz ve özellikle hiçbir yoğun hiper düzlem nitelendirilmez. Bunun nedeni, böyle bir operatörün aralığı sonlu eş boyuta sahipse, kapatılması gerektiğidir (bu, Kapalı Grafik Teoremini kolayca takip eder).

Bir kompakt operatörün aralığı, herhangi bir sonsuz boyutlu kapalı alt uzay içermez, bu nedenle, alt uzayları sınıflandırmak için kullanılabilecek başka bir özelliktir.

Daha Fazla Soru .

1. Topolojik / analitik terimlerle ifade edilen, tüm alt uzayları arasında sınırlı (veya kompakt) bir operatörün aralığını karakterize eden gerekli ve yeterli bir koşul var mı? $H$?

2. Kapalı olmayan alt uzayların kaç tane üniter eşdeğerlik sınıfı $H$varmı? Bunlardan kaç tanesi topolojik / analitik terimlerle tanımlanabilir?

Answer 1

Sanırım, kompakt durumda Soru 4'e basit bir cevabım var: Sonsuz boyutlu bir alt uzay $E\subseteq H$ ortonormal (ortonormal) bir küme varsa kompakt bir işlecin aralığıdır $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, öyle ki $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ ve $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Bu, kompakt operatörler için Spektral Teoremden ve kompakt bir operatör aralığının $T$ aralığı ile çakışmaktadır $|T|$.