İki iid Üstel rv arasındaki fark için olasılık işlevi
Cevabım tamamen yanlış. Lütfen mantığımın nerede yanlış gittiğini söyler misin?
Donald Trump ve Tori Black belirli bir saatte buluşacak ve ikisi de geç kalacak $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. Varış saati farkının cdf'si nedir.
İzin Vermek $ X, Y$ geç kalmak ve fark olmak $Z = X - Y$. Vakalar$z \geq 0$ ve $z < 0 $.
İlk olarak $ z \geq 0$,
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
Z $\geq 0$, yani $X \geq 0 $ hepsi için $Y$.
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
Şimdi için $z < 0$, hesaplamamın çok yanlış gittiği yer .
Benzer şekilde, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$, için böylece $X \geq 0$, $Y$ olmalı $Y \geq -Z$, ben de yapıyorum:
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
Bu nedenle, her iki durum için de cevaplarım aynıdır. $z$ işaret.
Doğru CDF'ler ders kitabında şu şekilde verilmiştir:
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ için $z\geq 0$ ve $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ için $z<0$.
Entegre etmeyi unuttum $Y$ bitmiş $\int_0^{-z}$ için $z<0$, dahil edildiğinde ders kitabına cevap verir.
Yanıtlar
İntegral limitleriniz doğru değil. Entegrasyon bölgesini çizerseniz, ilk çeyrekte ve çizginin sağında olacaktır$X-Y=z$. Entegrasyon sırası ise, entegrasyon daha kolay olacaktır.$dy dx$. Aksi takdirde, iki farklı aralığı hesaplamanız gerekir:$0\leq y \leq -z$ ve $-z<y<\infty$. İntegralinizde, sadece ikinci aralığı hesaplarsınız.
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
Bu verir $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
OP'nin vaka için analizinin nerede olduğu sorusuna cevap vermeyeceğim $z<0$ ters gitti, ancak bunun yerine, değeri bir kez doğru cevaba ulaşmanın daha kolay bir yolunu $F_Z(z)$ olduğu belirlendi $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ ne zaman $z > 0$.
Dan beri $X$ ve $Y$Rasgele değişkenlerin, olan yoğunluk ve$Z = X-Y$ yoğunluğu ile aynı olmalıdır $-Z = Y-X$yani yoğunluk eşit bir fonksiyon olmalıdır . Bunun bir sonucu şudur:$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ ve böylece hemen anlıyoruz \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} ve bu yüzden, $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
Aslında, üstel dağılımın hafızası olmayan tek sürekli dağıtım olduğu bilgisinden başlarsanız, bu problem hiçbir integrali hesaplamadan çözülebilir . Bu, rastgele bir değişken$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ ve hatta $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ herhangi $a>0$. Başka bir deyişle, eğer$X$Donald Trump'ın varmasına ve mesela 10 dakika sonra gelmemesine kadar geçen zamandır, o zaman 10 dakikanın ötesine varana kadar geçen süre de şu şekilde dağıtılır:$X$. Bu mantığa aykırı görünebilir ancak kanıtlanması kolaydır.
Şimdi eğer $X,Y$ iid mi $\text{Expon}(\lambda)$ ve sırasıyla Donald ve Tori'nin varış zamanı, ardından Donald 0.5 olasılıkla ilk gelen olacak: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. Ancak bu durumda daha da önemlisi, hafızasız özelliği$Y$ bize bunu söyler $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ değeri ne olursa olsun $X$ ve bu nedenle $-Z|Y>X$ dır-dir $\text{Expon}(\lambda)$. Aynı şekilde, olasılıkla Tori önce gelirse$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, sonra $Z|X>Y$ aynı zamanda $\text{Expon}(\lambda)$. İki durumu bir araya getirmek size aşağıdakilerin simetrik sonucunu verir:$F_Z(z)$ daha önce elde edildi.
Cdf istedim ama pdf için olsaydı .
İçin $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
İçin $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$