İlk n terimin aritmetik dizisinin toplamı için formülün türetilmesinin açıklaması

Aug 16 2020

Birincinin aritmetik dizisinin toplamı için formülün türetilmesini anlamaya çalışıyorum $n$ şartlar.

Ortak farkı ortadan kaldırmak için hangi kuralların veya muhakemenin iki dizinin ters sırayla eklenmesine izin verdiğini anlamıyorum $d$ ve ilk aritmetik dizinin toplamının $n$ şartlar yarımdır $n$ilk ve son terimlerin toplamının çarpımı. Bu, bazı açıklanamayan bilgilere dayalı olarak genişletilmişten ortak farkı ortadan kaldırmanın yapmacık bir yolu gibi görünüyor.$d$ ve genel olarak aritmetik diziler.

Bu soruyu matematik ders kitaplarında ve çevrimiçi olarak araştırdım ve türetme her sunulduğunda, bir matematikçiye formülü türetecek dizileri ekleyerek neden açık olacağına dair bir açıklama bulamıyorum.

Arkaplan.

Formülün birçok ders kitabında ve çevrimiçi sitede anlatıldığı gibi türetilmesi aşağıdaki gibidir.

  1. İlk aritmetik dizinin toplamını bulmak için $n$ şartlar $S_n$, toplamı ilk terime göre yazabiliriz $a_1$ ve ortak fark $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

  1. Sırayı son terime göre ters sırada yazmak da mümkündür. $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

  1. Bu dizileri topladığımızda, bir aritmetik dizinin ilk n terimlerinin toplamının formülünü elde ederiz.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

  1. Çünkü var $n$ birçok ekleme $(a_1 + a_n)$ uzun toplam şu şekilde basitleştirilmiştir: $n(a_1 + a_n)$ ve çözmek için $S_n$ formüle ulaşıyoruz.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Ne yazık ki, bu açıklamaların hiçbirinde iki dizinin (sıradan sıra ve tersi) neden eklendiğine dair mantığı bulamıyorum. Bunların eklenmesi bana mantıklı geliyor, ancak formülü türetirken bunun bir sonraki mantıksal adım olmasının nedeni bu değil.

Soru.

Formülü türetmek için neden iki dizi eklendi ve bu, aritmetik dizilerin doğası hakkında ne gösteriyor?

Bunu anlamaya çalışırken, birçok sekans üzerinde çalışarak ilk sekans toplamının oranını görebildiğimizi fark ettim. $n$ şartlar $S_n$ ve ilk ve son terimlerin toplamı $(a_1 + a_n)$ her zaman $\frac{n}{2}$herhangi bir aritmetik dizi için. Muhtemelen tümevarım yoluyla herhangi bir aritmetik sıra için şunun doğru olduğu söylenebilir:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

O zaman şu da doğru olmalı:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Ancak bana göre bu, türetmenin neden iki sekansı eklemeye karar verdiğini açıklamıyor.

Yanıtlar

2 RossMillikan Aug 16 2020 at 09:18

Toplamanın değişme özelliği, iki toplayıcının toplamına izin vermenizi sağlar. Eklerin sayısı üzerinde tümevarım yaparak, bunu herhangi bir sınırlı sayıda eklentiye genişletebilirsiniz. İlişkilendirme daha sonra onları istediğiniz gibi gruplamanıza izin verir.

Mars Aug 16 2020 at 09:14

Üçgen sayılarının toplamını düşünün. İlk n sayıyı eklemek için, birinci ve sonuncuyu alır ve n + 1 elde etmek için onları birleştirirsiniz, sonra aynısını ikinci için ve sondan sonra n + 1 elde etmek için yaparsınız. Bu sürecin görseli için şuna bakın:https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. İşte sorunuzda, üçgeniniz biraz orantısız ve bir noktaya gelmiyor, ancak fikir aynı kalıyor :).