IMO 2003 / G1: Bunu göster $PQ=QR$ eğer ve sadece $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$.
İzin Vermek $ABCD$döngüsel dörtgen olabilir. İzin Vermek$P$, $Q$, $R$ diklerin ayakları olmak $D$ çizgilere $BC$, $CA$, $AB$, sırasıyla. Olduğunu göstermektedir$PQ=QR$ eğer ve sadece $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$.
İşte şema:

Projektif coğrafya kullanmak istiyorum.
İlerlemem : Çok biliniyor ki$P,Q,R$ doğrudur [simson line]
Şimdi, işte bir lemma.
Lemma : Döngüsel bir dörtlü verildiğinde$ABCD$açıortayları $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$ ancak ve ancak $ABCD$ harmoniktir.
Kanıt : eğer$ABCD$ harmonik, öyleyse $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ Şimdi açıortay teoremini uygulayarak bitirdik.
Diğer yönü ispatlamak için geriye gidebiliriz.
Dolayısıyla, yeniden ifade edilen soru şudur:
İzin Vermek $ABCD$döngüsel dörtgen olabilir. İzin Vermek$P$, $Q$, $R$ diklerin ayakları olmak $D$ çizgilere $BC$, $CA$, $AB$, sırasıyla. Olduğunu göstermektedir$Q$ orta noktası $PR$ ancak ve ancak $ABCD$ harmoniktir:
Şimdi, Projektif coğrafyayı kullanmam istendiğinden, $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Şimdi alabilirim$P_{\infty}$simson çizgisine paralel bir çizgi düşündüğümde ancak hangi hattı almaya devam edemiyorum. Paralel bir çizgi aldım$PR$ vasıtasıyla $D$, ancak devam edemiyor ..
Yanıtlar
Uzat $DQ$ çemberle buluşmak $X$Daha sonra, BX, yorumda belirtildiği gibi simson çizgisine paralel olacaktır.
Parçalıysa: Şimdi izin ver $BX$ buluşmak $AC$ -de $Y$Bakış açısını alın $B$ hatta $AC$ bunu göstermek için $(Y,Q,A,C)$ Harmonic.Şimdi, bakış açınızı $X$ göstermek için daireye $ABCD$harmoniktir. Diğer yön de benzer şekilde kanıtlanabilir.