IMO 2003 / G1: Bunu göster $PQ=QR$ eğer ve sadece $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$.

Aug 18 2020

İzin Vermek $ABCD$döngüsel dörtgen olabilir. İzin Vermek$P$, $Q$, $R$ diklerin ayakları olmak $D$ çizgilere $BC$, $CA$, $AB$, sırasıyla. Olduğunu göstermektedir$PQ=QR$ eğer ve sadece $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$.

İşte şema:

Projektif coğrafya kullanmak istiyorum.

İlerlemem : Çok biliniyor ki$P,Q,R$ doğrudur [simson line]

Şimdi, işte bir lemma.

Lemma : Döngüsel bir dörtlü verildiğinde$ABCD$açıortayları $\angle ABC$ ve $\angle ADC$ ile eşzamanlı $AC$ ancak ve ancak $ABCD$ harmoniktir.

Kanıt : eğer$ABCD$ harmonik, öyleyse $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ Şimdi açıortay teoremini uygulayarak bitirdik.

Diğer yönü ispatlamak için geriye gidebiliriz.


Dolayısıyla, yeniden ifade edilen soru şudur:

İzin Vermek $ABCD$döngüsel dörtgen olabilir. İzin Vermek$P$, $Q$, $R$ diklerin ayakları olmak $D$ çizgilere $BC$, $CA$, $AB$, sırasıyla. Olduğunu göstermektedir$Q$ orta noktası $PR$ ancak ve ancak $ABCD$ harmoniktir:

Şimdi, Projektif coğrafyayı kullanmam istendiğinden, $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Şimdi alabilirim$P_{\infty}$simson çizgisine paralel bir çizgi düşündüğümde ancak hangi hattı almaya devam edemiyorum. Paralel bir çizgi aldım$PR$ vasıtasıyla $D$, ancak devam edemiyor ..

Yanıtlar

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

Uzat $DQ$ çemberle buluşmak $X$Daha sonra, BX, yorumda belirtildiği gibi simson çizgisine paralel olacaktır.

Parçalıysa: Şimdi izin ver $BX$ buluşmak $AC$ -de $Y$Bakış açısını alın $B$ hatta $AC$ bunu göstermek için $(Y,Q,A,C)$ Harmonic.Şimdi, bakış açınızı $X$ göstermek için daireye $ABCD$harmoniktir. Diğer yön de benzer şekilde kanıtlanabilir.