JacobiFunction ile ilgili Ramanujan Kimliği [kopya]
Aşağıdaki kimliğin Ramanujan'a ait olduğu iddia ediliyor $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$ama bunu nasıl kanıtlarsınız? Sağ tarafın paydası, Jacobi Fonksiyonu ile ilgilidir, yani modüler formlar üzerinden ilerlenebilir mi?
Yanıtlar
Şimdilik kısmi bir cevap. Bunu kanıtlamalıyız$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ veya $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ veya $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$
Euler'in beşgen sayı teoremine göre LHS, eşittir $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ ve katsayısı $r^m$ içinde $\prod_{n>k}(1-r^n)$ bölüm sayısına bağlıdır $m$ kardinalite ile farklı parçalara $>k$, parça sayısına göre pozitif veya negatif işaret ile muhasebeleştirilir.
Şimdi , Euler'in beşgen sayı teoreminin kombinatoryal ispatında kullanılan aynı evrimi veya ona oldukça yakın bir şeyi kullanarak iddiamızı kanıtlamak zor olmamalı .