Kanıtla $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
İlginç buldum https://mathoverflow.net/questions/66423/hard-hypergeometric-4f3 MO'daki genelleştirilmiş hipergeometrik seriler hakkında:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
Bu sayısal olarak kabul eder, ancak ne hipergeometrik fonksiyonların temel özelliklerini (ör. Döngüsel toplam) veya klasik Gama formüllerini (ör. Dougall formülü) kullanarak hiçbir kanıt bulamadım. Bahse girerim modüler formlar ve eliptik ile bir ilgisi vardır.$K$ integraldir, ancak tam ilişki belirsiz kalır.
Bu kimlik nasıl kanıtlanır ? Motivasyonu ne olacak? Yüksek dereceli hipergeometrik serilerin diğer Gama değerlendirmesini, kanıtlama yöntemini kullanarak oluşturabilir miyiz? Herhangi bir yardım takdir edilecektir.
Yanıtlar
İzin Vermek $S$ verilen olmak $_4F_3$, sonra (ilk eşitlik terimsel entegrasyondan gelir), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
Kolayca görülür $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ değeridir $_3F_2$ -de $a=0$ (https://mathworld.wolfram.com/DixonsTheorem.html). Ayarlamak $$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
Çok değişkenli zincir kuralı ile, $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
Genel olarak, türevi $_pF_q$bir parametreye göre inatçıdır. Bunları yalnızca geçici bir şekilde ele alınabilir . Bizim durumumuzda iyi bilinir ki$_3F_2$ -de $1$ belirli dönüşümleri karşılar: iki jeneratör 1. ve 3. giriştir https://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric3F2/17/02/06/. Bu iki girişi kullanarak, $$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
Bunu dördü için gözlemleyin $_3F_2$ yukarıda, argümanlarının hepsi şuna benzer: $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, tek fark $a$farklı yerlerde görünür. Bu nedenini açıklıyor$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ özeldir.
Operasyonel bir tanım tanıtın: yazın $x\equiv y$ Eğer $x-y$"gama faktörlerinin doğrusal bir birleşimidir". Örneğin,$x\equiv y$ Eğer $x-y = A$. Şimdi türev al$a=0$, elde ederiz $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ Bu sistemi çözmek verir $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
Böylece $d_{1/3}+d_{4/3}$ gama işlevi olarak ifade edilebilir, yani $S$ göre $(*)$.
Yapmakta zorluk yok $(**)$ açık: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
Çözmek verir $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. Ayrıca değerleri elde ederiz$d_1, d_{2/3}$ yan ürünler olarak.
İnanılmaz vay! 9 yıl sonra çözüldü! Bunu kazıp çözdüğünüz için hepinize teşekkürler. Bu genel bir form verebilir mi?
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
Muhtemelen bunun için biraz motivasyon vermeliyim. Aşağıdaki makalede, normalden 0'dan başlayan bir düzlemsel Brown hareketinin beklenen çıkış zamanına baktım.$m$-gen 0'da ortalanmış:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
(Çokgenin boyutuna bağlı olan bir sabite kadar)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
ki bu tam olarak dilden çıkmaz. Bununla birlikte, bir eşkenar üçgen için bunu hesaplamak için farklı bir yöntem vardır ve verir$1/6$. Yani ikisini eşitleyerek bir özdeşlik elde ederiz ve bu özdeşliktir. Şimdi, soru şu, bu yöntemi kullanarak daha güzel bir ifade elde edebilir miyiz?$_4F_3$ daha büyük için $m$? Bu, Brownian hareketinin normalden beklenen çıkış zamanı için daha güzel bir ifade olurdu.$m$-gen.
Tüm bunların tamamen analitik (yani olasılıkçı olmayan) bir versiyonu burada bulunabilir, çünkü beklenen çıkış zamanı temelde bir sabite kadar alanın Hardy H ^ 2 normudur.