Kanıtla eğer $a+b$ irrasyonel bir sayıdır, bu durumda en az biri $a$ veya $b$ irrasyoneldir.

Question

Bu soruya bir kitapta rastladım. Koşulu şu şekilde kanıtlamaya çalıştım: a ve b'nin rasyonel olduğunu varsayalım. Açıkça toplamı$a$ ve $b$ rasyoneldir, bu durumla çelişir, $a+b$irrasyoneldir. Bu nedenle a veya b'den en az biri irrasyoneldir.

Orada bir şeylerin ters gittiğini hissediyorum. Burada kontrpozitif ispat kullanmanın daha iyi olabileceğini düşünüyorum ama emin değilim çünkü ispat dünyasında yeniyim.

Answer 1

Kanıtlamaya çalıştığınız ifade $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Bu sadece "herkes için" ifadesinin sembolik tercümesidir.$a,b$, Eğer $a+b$ irrasyonel olduğundan en az biri $a$ veya $b$ irrasyoneldir ".

İşte ifade $X$ dır-dir "$a+b\notin \Bbb{Q}$"ve ifade $Y$ dır-dir "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Yani," her biri için "nin tam tersi $a,b$ ($X \implies Y$) her biri için "eşittir" $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", bu durumda:

Her biri için $a,b$ sahibiz ($a\in \Bbb{Q}$ ve $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)

ve bu senin tartıştığın şey.

Answer 2

"Kontrapozitifin burada nasıl çalıştığını anlamıyorum" yorumunuza değinmek istiyorum.

İzin Vermek $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (irrasyonel sayılar kümesi).

Bunu göstermek istiyorsun

$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$

Kontrapozitif olana geçmeden önce şunu unutmayın: $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$

Şimdi, kontrpozitif,

$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ yukarıdaki gözlemin ışığında, $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$

tanımlayıcı özelliği olan $\mathbb{Q}$.

Bunu da hatırla $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.