Kartezyen koordinatların değişmesi için standart denklemler nelerdir? $\mathbb{R}^2$?

Aug 17 2020

Boothby'nin Türevlenebilir Manifoldlara Giriş'in ilk bölümü üzerinde çalışıyorum ve alıştırmalardan biri şu şekildedir:

Kartezyen koordinatların değiştirilmesi için standart denklemler kullanarak, $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, nerede $m_1, m_2$ iki doğrunun eğimi, koordinat seçiminden bağımsızdır.

Bunun, değerinin sadece iki çizgi arasındaki açının tanjantı olduğunu kanıtlayarak da yapılabileceğinden bahsediliyor, ancak alıştırmanın bu şekilde tamamlanması gerekmediğine inanıyorum.

Kartezyen koordinatların değişmesi için standart denklemlere aşina değilim. Koordinat değişikliği gibi görünüyor$\mathbb{R}^2$ bundan emin olmasam da herhangi bir afin dönüşüm olabilir.

Sorum şu: Kartezyen koordinatların değişimi için standart denklemler nelerdir?

Yanıtlar

J.G. Aug 18 2020 at 22:32

Degradeler çevirmelerde değişmez olduğundan, genelliği kaybetmeden iki Kartezyen koordinat sisteminin aynı kökene sahip olduğunu ve her çizginin bu ortak başlangıç ​​noktasından geçtiğini varsayabiliriz. Koordinatlardan dönüşüm$x,\,y$ koordinatlara $X,\,Y$ tatmin eder$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$bazı $\theta\in\Bbb R$. Eğer$y=mx$ ve $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$En sonunda,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$Kapanışta, Boothby'nin Kartezyen koordinatlarında değişiklik kullanma isteğinin bize gerekenden daha fazla iş vermekle kalmayıp, nihai sonucun bir kaza gibi görünmesine neden olduğunu belirtmek gerekir. O değil. yazı$m_1=\tan\theta_1$ vb., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, dolayısıyla sonuç düzlemdeki açıların dönme değişmezliğinden çıkar.

DanielN Aug 18 2020 at 22:12

İki kartezyen koordinat sisteminiz varsa, $Oxy$ ve $\Omega\xi\eta$, sonra bunlarla ilgili denklem $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ nerede

  1. matris $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ters çevrilebilir ve
  2. $\xi(O)$ ve $\eta(O)$ koordinatları $O$ ikinci koordinat sisteminde.