Kategorideki aile ürününün tanımında bir soru
Thomas Hunger Ford'un Cebir'deki kategorileri inceliyorum ve kategorilerin tanımlanmasıyla ilgili bir sorum var:
Sorum şu: Yazarın bu diyagramla kastettiği şey değişmeli.
Tanıma rağmen ne anlama geldiğine dair hiçbir fikrim yok $7.2$ yukarıda verilen kesinlikle anlaşılmıştır.
Lütfen yazarın bununla ne demek istediğini söyleyin.
Yanıtlar
Temel olarak, diyagramdaki her üçgenin bir dizi morfizm bileşimini ve eşitliğini temsil ettiği anlamına gelir. Örneğin,
Bu özel diyagram şunu ima eder: $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Aynı şekilde:
Bu diyagramın anlamı $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.
Bu üçgenlerin her biri bir değişmeli diyagram olarak kabul edilir ve aynı zamanda onları birlikte "parçalayarak" yapılan diyagramın (başlangıçta gösterildiği gibi) da değişmeli olduğunu söylüyoruz.
Daha genel olarak: değişmeli bir diyagramda, aynı başlangıç ve bitiş noktalarından aldığınız yollar, bir çeşit eşitliği temsil eder (kategori teorisinde, eşitlikler morfizm bileşimi ile ilgilidir). İlk üçgen iki yol alır$B$ -e $A_1$ örneğin: doğrudan oradan $\varphi_1$ ve diğeri $P$ üzerinden $\varphi$ve sonra için$A_1$ üzerinden $\pi_1$. Böylece iddia ediyoruz$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Benzer şekilde diğer diyagram ve genel olarak değişmeli diyagramlar için de geçerlidir.
Bu şeylerin nasıl çalıştığı ve eşitliklerin nasıl görülebileceği, kullanılabileceği ve manipüle edilebileceği konusunda güzel bir görsel sezgi sağlar.
Wikipedia makalesinde daha fazla örnek, diyagram ve açıklama bulabilirsiniz .
Bir diyagram, ürettiği tüm oklara - yani, diyagramın kendisinde oklar oluşturarak oluşturulabilen tüm oklara - baktığımızda, iki nesne arasında sadece bir ok görürüz.
Örneğin, Kümeler kategorisine baktığımızı varsayalım . Nesneleri düşünün$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$ve oklardan oluşan "üçgen" diyagramı $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$Bu şema değişmeli değildir : açıkça mevcut okların yanı sıra$f,g,h$ biz de "oluşturulmuş" oka sahibiz. $g\circ f$. Bu, aynı etki alanına ve eş etki alanına sahiptir$h$ama farklı $h$.
Daha hızlı:
Değişmeli üçgenler , tam olarak ok bileşiminin örnekleridir: verilen oklar$f,g,h$ nerede $g\circ f$ tanımlanmıştır ve aynı kaynak ve hedefe sahiptir $h$tarafından oluşturulan üçgen $f,g,h$ değişmeli iff $g\circ f=h$.
Elbette orada daha karmaşık değişmeli diyagramlar var. İşe gidip gelirken kareler sık sık kesilir (bkz. Ör. "Geri çekilme kareleri"): temelde bunlar okların olduğu durumlara karşılık gelir$f_1,f_2,f_3,f_4$ öyle ki $f_1$ ve $f_2$ aynı kaynağa sahip ve $f_3$ ve $f_4$ aynı hedefe ve kompozisyonlara sahip $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ (tanımlanmış ve) eşittir.