Katı dışbükeylik artı asimptotik yakınlık sınırlı anlamına mı geliyor?

Question

Bunun tam olarak araştırma düzeyinde olup olmadığından emin değilim, ancak aşağıdaki iddiaya bir kanıt bulmakta zorlanıyorum:

İzin Vermek $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ olmak $C^2$ kesinlikle dışbükey işlev.

İzin Vermek $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ tatmin etmek $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ ve varsayalım ki $c_n \to c>c_0$.

Ayarlamak $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $ve varsayalım ki $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

Soru: Zorunlu$b_n$ sınırlanmak?

---

Özel durum için oldukça basit bir kanıtım var (aşağıda sunuyorum) $a_n=a,c_n=c$ sabit dizilerdir, ancak genellemede sorun yaşıyorum.

Basitleştirilmiş vakanın kanıtı:

Sahibiz $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.

Verilen $x \ge r$, İzin Vermek $\lambda(x) \in [0,1]$ tatmin edici benzersiz numara olun $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ Sahibiz $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Tanımlamak$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

Katı dışbükeylik $F$ ima ediyor ki $g$ kesinlikle artan bir fonksiyondur $x$.

Varsayım $D_n \to 0$ eşdeğerdir $g(b_n) \to F(c)$. Dan beri$g(b_n) \ge F(c)$ (dışbükeylik ile) ve $g$ kesinlikle artıyor, şu sonuca varıyoruz: $b_n$ sınırlandırılmalıdır.

Answer 1

Evet, $b_n$sınırlandırılmalıdır. Aksini varsayın. Bir alt diziye geçerken şunu varsayabiliriz:$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. Sahibiz$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ ve kullanarak $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ biz alırız $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ Böylece $\liminf D_n>0$.